Введение в теорию вероятностей и математическую статистику для физиков

Description

Теоретический материал иллюстрируется примерами численного решения задач с помощью системы аналитических вычислений Mathematica, освоение которых полезно для студентов и аспирантов, изучающих вероятностные методы в физике. Мы знакомим читателя с применениями критериев Пирсона, Стьюдента, Фишера, Колмогорова и Смирнова для проверки статистических гипотез и определения параметров методом наименьших квадратов. Во второй части курса рассматриваются эргодические свойства случайных процессов, методы моделирования случайных блужданий и броуновского движения, а также численные методы Монте-Карло. В первую очередь здесь излагаются способы получения и преобразования случайных величин и обсуждаются различные критерии качества датчиков псевдослучайных чисел. Целью курса является объединение теоретических и вычислительных возможностей теории вероятностей в компактной и связанной форме.  Вероятностные пространства и основные распределения. Аксиоматика Колмогорова. Случайные величины. Вероятностные аспекты квантовой теории. Тест некоммутативности: неравенство Белла. Сходимость случайных величин и предельные теоремы. Закон больших чисел. Пуассоновский предел. Теорема Муавра–Лапласа. Предельные теоремы для экстремальных событий. Теорема Бохнера–Хинчина и центральная предельная теорема. Алгебра характеристических функций. Теорема Бохнера–Хинчина и ее следствия. Центральная предельная теорема. Центральная предельная теорема в форме Ляпунова и Линдеберга. Безгранично делимые и устойчивые законы. Предельные теоремы для распределений с тяжелыми хвостами. Проблема моментов и теорема Бернштейна. Свойство аналитичности характеристических функций. Теорема Бернштейна. Кривые Пирсона. Теорема Бернштейна и распределение Вигнера. Статистическая обработка экспериментальных данных. Задачи математической статистики. Распределение Стьюдента. Интервальные оценки. Статистическая значимость и ошибки первого и второго рода. Гипотеза о средних значениях. Гипотеза о дисперсиях. Гипотеза об однородности. Критерий Пирсона. Теорема Пирсона. Примеры. Гипотеза о независимости выборок. Линейный метод наименьших квадратов. Геометрическое содержание метода наименьших квадратов. Псевдорешения и проекторы. Распределение коэффициентов МНК. Оценка порядка регрессии. Примеры аппроксимации экспериментальных данных. Критерий Колмогорова. Теорема Гливенко–Кантелли. Распределение Колмогорова. ?2-критерии Крамера–фон Мизеса и Андерсона–Дарлинга. Фильтрация выбросов. Сравнение мощности критериев. Метод максимального правдоподобия. Функция правдоподобия и ее свойства. Информация Фишера и неравенство Рао–Крамера. Оптимальные статистики. Марковские цепи и случайные блуждания. Марковские цепи. Случайное блуждание. Классификация состояний цепи Маркова. Теорема Перрона–Фробениуса. Скачкообразные и диффузионные процессы. Пуассоновский процесс. Диффузионный предел случайных блужданий. Свойства траекторий винеровского процесса. Метод Монте-Карло и алгоритм Метрополиса. Методы преобразования случайных величин. Стохастический метод решения уравнения Шредингера. Алгоритм Метрополиса в дискретном случае. Марковские цепи и эволюция с непрерывным временем. Алгоритм Хастингса для несимметричных цепей.