Криволинейные и поверхностные интегралы: Учебно-методическое пособие

Description

Настоящее учебно-методическое пособие посвящено изучению криволинейных и поверхностных интегралов. Эти темы входят в курс математического анализа. В каждой главе пособия даны базовые определения и формулировки, приводятся доказательства основных теорем, в том числе теоремы Грина, Стокса, Остроградского-Гаусса и дано подробное решение типовых задач для овладения техникой их решения. Основное внимание уделяется применению изложенных теоретических сведений к решению соответствующих задач геометрии и механики. Предназначено для самостоятельной работы студентов всех профилей технических направлений в РТУ МИРЭА. Учебно-методическое пособие издается в авторской редакции. ВВЕДЕНИЕ Глава 1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ 1.1. Определение криволинейного интеграла первого рода, его свойства и способы вычисления. Рассмотрим сначала плоский случай (линия L задана на плоскости Оху). A. Кривая интегрирования задана явно Постановка задачи Пусть линия L с начальной точкой А(a,y1) и конечной точкой В(b,y2) задана в явном виде: у=((х), х([a,b]. Надо вычислить . План решения Во-первых, воспользуемся известной формулой для дифференциала длины дуги . Так как по условию кривая задана явно, то заменяем дифференциал функции dy на . Тогда дифференциал длины дуги имеет вид: . Затем в подынтегральной функции заменяем y на ((х). С... (1.4) B. Кривая интегрирования задана в параметрическом виде Постановка задачи Пусть линия L задана в параметрическом виде: , где t – параметр кривой, изменяющийся в пределах t([(,(]. Надо вычислить . План решения Так как , то дифференциал длины дуги: . А подынтегральное выражение заменяем на , которое зависит только от одной переменной t и справедливо равенство: (1.5) C. Кривая интегрирования задана в полярных координатах Постановка задачи Пусть линия L задана в полярных координатах: r=r((), где (([(,(]. Надо вычислить . План решения Перейдем от декартовых к полярным координатам и возьмем дифференциал: ( Т.е. получаем параметрическое задание линии L от параметра (, подобное рассмотренному выше случаю В. Следовательно, дифференциал дуги равен: Заменяем на , которое зависит только от одной переменной ( и, следовательно, справедливо равенство: (1.6) Рассмотрим теперь пространственный случай. Кривая L задана в трехмерном пространстве. Постановка задачи Пусть линия L задана в параметрическом виде: t([t1,t2]. Надо вычислить . План решения В пространственном случае дифференциал дуги равен: . Так как , , то дифференциал дуги имеет вид: . Заменяем подынтегральное выражение на , которое зависит только от одной переменной t и, следовательно, имеет место равенство: (1.7) 1.2. Определение криволинейный интеграла второго рода, его свойства и способы вычисления Пусть линия L с начальной точкой А(a,y1) и конечной точкой В(b,y2) задана в явном виде: y=y(x), где x([a,b]. Надо вычислить интеграл . План решения Меняем в подынтегральном выражении у на у(х), а на . Тогда имеет место равенство: (1.11) Постановка задачи Пусть линия L задана в параметрическом виде: , где t – параметр кривой, изменяющийся в пределах t([(,(]. Надо вычислить . План решения Делаем замену в подынтегральном выражении х на x=((t), у на y=((t), а dx на и dy на . Тогда имеет место равенство: (1.12) Постановка задачи Пусть линия L задана в полярных координатах: r=r((), где (([(,(]. Надо вычислить . План решения Перейдем от декартовых координат к полярным координатам в подынтегральной функции и возьмем дифференциалы от декартовых координат: ( (1.13) Т.о., выражения (1.11 – 1.13) дают правила сведения криволинейного интеграла по координатам плоской дуги к определенному интегралу. Постановка задачи Пусть пространственная линия L задана в параметрическом виде: где t – параметр кривой, изменяющийся в пределах t([(,(]. Надо вычислить . План решения Делаем замену в подынтегральном выражении – х на ((t), у на ((t), z на ( dx = , dy = , и переходим к определенному интегралу: (1.14) 1.3. Связь криволинейных интегралов I и II рода 1.4. Формула Грина 1.5. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования 1.6. Некоторые приложения криволинейных интегралов 1.6.1. Приложения криволинейного интеграла первого рода 1.6.2. Приложения криволинейного интеграла второго рода 1.7. Решение типовых примеров 1.8. Вопросы для самопроверки 1.9. Задания для самостоятельного решения Глава 2. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ 2.1. Поверхность в трехмерном евклидовом пространстве 2.2. Сторона и ориентация поверхности 2.3. Направляющие косинусы нормали к поверхности 2.4. Векторный элемент площади поверхности 2.5. Поверхностный интеграл I рода, его свойства и метод вычисления 2.6. Поверхностный интеграл II рода, его свойства и способы вычисления. Связь между поверхностными интегралами I и II рода. 2.7. Теорема Остроградского- Гаусса 2.8. Формула Стокса 2.9. Некоторые приложения поверхностных интегралов 2.9.1. Геометрические приложения. 2.9.2. Физические приложения. 2.9.3. Механические приложения. 2.10. Решение типовых примеров. 2.11. Вопросы для самопроверки 2.12. Задачи для самостоятельного решения ПРИЛОЖЕНИЕ СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ