Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Band 3: Mehrdimensionale Analysis und nichtlineare Optimierung

Description

Dieses Buch entwickelt verständlich und gut nachvollziehbar diejenigen Themen der Mathematik, die für ein erfolgreiches Studium der Wirtschaftswissenschaften unverzichtbar sind. Hierbei wird die mathematische Darstellung stets durch ökonomische Anwendungen motiviert. Zahlreiche farbige Abbildungen und Übersichten visualisieren den Stoff; ausführliche Erläuterungen und Übungsaufgaben helfen, ihn zu verstehen und zu beherrschen. Im Zentrum des dritten Bandes stehen grundlegende Themenbereiche der mehrdimensionalen reellen Analysis und Optimierung. Grundeigenschaften und Differentialrechnung von Funktionen mehrerer reeller Veränderlicher, implizite Funktionen sowie Extremwertprobleme mit und ohne Nebenbedingungen werden ausgiebig behandelt. Zusammen mit den in den beiden vorangehenden Bänden entwickelten Grundlagen fließen diese Themen in die Behandlung ökonomisch besonders interessanter Fragestellungen aus der Mikro- bzw. Makroökonomik ein. Die abschließende Einführung in Differenzen- und Differenzialgleichungen erlaubt es zudem, dynamische Modelle der Makroökonomik beispielhaft zu behandeln. Eine Besonderheit dieses Buches ist, dass nicht nur Methoden zur zahlenmäßigen Lösung von Problemen behandelt werden, sondern zugleich viel Wert auf das qualitative Verständnis der Probleme und ihrer Lösungen gelegt wird. Deswegen erhält die mathematische Argumentation, verbunden mit ökonomischen Überlegungen, ausreichend Raum. Vorwort Inhaltsverzeichnis V Reelle Funktionen mehrerer Veränderlicher 27 Einführung 27.1 Ökonomische Motivation 27.2 Vorgehensweise 27.3 Bezeichnungen und Definitionsbereiche 27.3.1 Bezeichnungsweisen 27.3.2 Was sind ``Variablen''? 27.3.3 Bezeichnung von Variablen 27.3.4 Natürliche Definitionsbereiche 27.3.5 Definitionsbereiche vektorwertiger Funktionen 27.3.6 ``Ökonomische'' Definitionsbereiche 27.4 Das Baukastenprinzip 27.4.1 Die Bausteine 27.4.2 Die ``Bau-Operationen'' 27.4.3 Direkte Summen und Separation 27.5 Grundbeispiele ökonomischer Funktionen 27.6 Aufgaben 28 Wissenswertes über Rn 28.1 Übersicht 28.2 Die Elemente des Rn 28.3 Die natürliche Ordnung des Rn 28.4 Intervalle 28.5 Rn als metrischer Raum 28.5.1 Metrik und Norm 28.5.2 Umgebungen 28.5.3 Innere, äußere und Randpunkte einer Menge 28.6 Beschränkte Mengen 28.7 Zulässige Richtungen und relativ innere Punkte* 28.8 Konvergenzbegriffe 28.8.1 Konvergenz von Folgen 28.8.2 Cauchy-Folgen 28.8.3 Konvergenz von Teilfolgen 28.8.4 Kompakte Mengen 28.9 Aufgaben 29 Vertikalschnitte 29.1 Einführung 29.2 Veranschaulichung im Fall n=2 29.3 Achsenparallele Vertikalschnitte 29.4 Beliebige eindimensionale Vertikalschnitte 29.4.1 Definition und Beispiele 29.4.2 Spezialfall: Achsenparallelität* 29.4.3 Spezialfall: Radialschnitte 29.4.4 Vereinfachte Parametrisierung 29.4.5 Ökonomische Interpretation von Radialschnitten: 29.5 Aufgaben 30 Niveaumengen und Höhenlinien 30.1 Einführung 30.2 Veranschaulichung im Fall zweier Veränderlicher 30.3 Definition und erste Beispiele 30.4 Ökonomische Interpretation und Bedeutung 30.5 Weitere Berechnungsbeispiele 30.6 Konturmengen 30.7 Höherdimensionale Niveau- und Konturmengen 30.8 Aufgaben 31 Beschränkte Funktionen 31.1 Zum Begriff 31.2 Erhaltungseigenschaften 31.3 Separation 31.4 Mehr zum Thema Beschränktheit 31.5 Beschränktheit vektorwertiger Funktionen* 31.6 Räume beschränkter Funktionen* 31.7 Aufgaben 32 Stetige Funktionen 32.1 Stetigkeitsdefinition 32.2 Stetigkeitsnachweis 32.3 Nützliche Konsequenzen 32.4 Ein ``metrischer'' Blick auf die Stetigkeit* 32.5 Stetigkeit vektorwertiger Funktionen* 32.6 Aufgaben 33 Ableitungsbegriffe 33.1 Übersicht 33.2 Partielle Ableitungen 33.2.1 Definition 33.2.2 Zur Technik des partiellen Differenzierens 33.3 Partielle Ableitungen höherer Ordnung 33.4 Richtungsableitungen 33.4.1 Definition 33.4.2 Geometrische Deutung 33.4.3 Einseitige Richtungsableitungen* 33.5 Totale Differenzierbarkeit und totales Differential 33.5.1 Totale Differenzierbarkeit 33.5.2 Totale Differenzierbarkeit und Stetigkeit 33.5.3 Totale vs. partielle Differenzierbarkeit 33.5.4 Das totale Differential 33.6 Differenzierbare Funktionen und Ableitungsregeln 33.6.1 Differenzierbare Funktionen 33.6.2 Der Katalog differenzierbarer Grundfunktionen 33.6.3 Erhaltungseigenschaften und Ableitungsregeln 33.6.4 C1-Funktionen 33.6.5 Richtungsableitungen differenzierbarer Funktionen 33.6.6 Spezielle Anstiegsrichtungen 33.6.7 Zwischenbilanz zum Thema ``Gradient'' 33.7 Randprobleme* 33.8 Implizite Funktionen und implizite Differentiation 33.8.1 Das Problem der Implizitheit 33.8.2 Herleitung von Auflösbarkeitsbedingungen 33.8.3 Der Satz über implizite Funktionen 33.9 Partielle Elastizitäten 33.9.1 Motivation 33.9.2 Definition 33.9.3 Praktische Bestimmung 33.9.4 Beispiele und Interpretation 33.9.5 Rechenregeln für Elastizitäten 33.9.6 Sprechweisen 33.10 Differentialrechnung vektorwertiger Funktionen 33.10.1 Partielle Differenzierbarkeit und Funktionalmatrix 33.10.2 Die Kettenregel 33.10.3 Implizite Funktionen 33.11 Höhere Ableitungen, Taylorsche Formel 33.11.1 Höhere Ableitungen skalarer Funktionen 33.11.2 Ableitungen als abbildungswertige Funktionen 33.11.3 Taylorsche Formel 33.12 Aufgaben 34 Monotone Funktionen 34.1 Motivation 34.2 Definition und Beispiele 34.3 Monotonieprüfung 34.4 Monotonieabschluss 34.5 Erhaltungssätze 34.6 Monotonie und Ableitung 34.7 Monotonie ökonomischer Funktionen 34.8 Einige Konsequenzen der Monotonie 34.9 Aufgaben 35 Konvexe Funktionen 35.1 Motivation und Übersicht 35.2 Definition 35.3 Alternative Charakterisierungen der Konvexität 35.3.1 Vertikalschnitte 35.3.2 Stützebenen und Epigraphen 35.4 Nützliche Eigenschaften konvexer Funktionen 35.4.1 Stetigkeit 35.4.2 Konturmengen 35.5 Konvexität und Ableitungen 35.5.1 Motivation 35.5.2 Globale Konvexitätsaussagen 35.5.3 Lokale Konvexitätsaussagen 35.6 Konvexitätsabschluss 35.7 Konvexitätserhaltung 35.7.1 Vorbemerkung 35.7.2 Summen, Vielfache, Maxima und Grenzwerte 35.7.3 Komposition 35.7.4 Zusammenfassung 35.8 Quasi-Konvexität 35.8.1 Definition und Beispiele 35.8.2 Alternative Charakterisierung 35.8.3 Mehr über Konvexität vs Quasikonvexität 35.8.4 Erhaltungseigenschaften 35.8.5 Weiterführende Fragen 35.9 Aufgaben 36 Homogene Funktionen 36.1 Vorbemerkung 36.2 Definition homogener Funktionen 36.3 Beispiele 36.4 Ökonomische Interpretation der Homogenität 36.5 Homogenität ökonomischer Funktionen 36.6 Erhaltungsaussagen 36.7 Radialschnitte homogener Funktionen 36.8 Geometrie der Höhenlinien 36.9 Homogenität und Elastizitäten 36.10 Aufgaben 37 Extremwerte 37.1 Begriffe 37.1.1 Motivation 37.1.2 Voraussetzungen aus Band 1 37.1.3 Eine alternative Beschreibung globaler Extremalität 37.2 Existenz globaler Extrema 37.3 Extremwertabschluss 37.4 Methodologie der Extremwertbestimmung 37.5 Stationäre Punkte und lokale Extrema 37.5.1 Notwendige Bedingungen 37.5.2 Bestimmung stationärer Punkte 37.5.3 Hinreichende Bedingungen für lokale Extremalität 37.6 Globale Extremwertanalyse 37.6.1 Übersicht 37.6.2 Kandidatenvergleich 37.7 Extrema konvexer Funktionen 37.7.1 Minima konvexer Funktionen 37.7.2 Maxima konvexer Funktionen 37.7.3 Stationäre Punkte konvexer Funktionen 37.8 Aufgaben 38 Extremwerte unter Nebenbedingungen 38.1 Motivation 38.2 Definitionen 38.3 Substitutionsmethode 38.4 Grafische Lösung im R2 38.4.1 Die Idee 38.4.2 Einige Beobachtungen 38.5 Die Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren 38.6 Lokale Bewertung von Lagrange-Punkten 38.7 Globale Aussagen unter Konvexitätsannahmen 38.7.1 Eine generelle Aussage 38.8 Zur Rolle des Lagrangeschen Multiplikators 38.9 Vereinfachungen 38.9.1 Monotone Transformation der Zielfunktion 38.9.2 Transformationen der Nebenbedingung 38.10 Mehrere Gleichungsnebenbedingungen 38.11 Mehrere Ungleichungsnebenbedingungen 38.11.1 Zwei Beispiele 38.11.2 Allgemeine Problemformulierung 38.11.3 Zulässiger Bereich 38.11.4 Die Bedingungen von Kuhn und Tucker 38.11.5 Beispiele 38.11.6 Ergänzende Anmerkungen 38.12 Aufgaben VI Dynamik 39 Differenzengleichungen 39.1 Motivation 39.2 Begriffe 39.3 Lineare Differenzengleichungen 39.4 Lineare Gleichungen mit konstanten Koeffizienten 39.4.1 Gleichungen erster Ordnung 39.4.2 Gleichungen zweiter Ordnung 39.4.3 Gleichungen beliebiger Ordnung 39.5 Einfache ökonomische Anwendungen 39.5.1 Verzinsung von Zahlungsströmen 39.5.2 Cobweb Theorem 39.6 Ausblick auf weitere Fragestellungen 39.7 Überleitung zu Differentialgleichungen 39.8 Aufgaben 40 Gewöhnliche Differentialgleichungen 40.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen 40.2 Einführung 40.3 Begriffe 40.4 Lineare DGL 40.5 DGL mit trennbaren Variablen 40.6 Elementare Anwendungen in der Ökonomie 40.6.1 Preisdynamik eines einzelnen Gutes 40.6.2 Das Solow-Modell 40.7 Aufgaben Anhang I: Beweise Anhang II: Lösungen von Übungsaufgaben Literaturverzeichnis Symbolverzeichnis Stichwortverzeichnis