数学分析（第二卷）: 第4版

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数学分析（第2卷第4版 俄罗斯数学教材选译），ISBN：9787040202571，作者：（俄罗斯）B.A.卓里奇 前言 目录 第九章 连续映射（一般理论） 1 度量空间 1．定义和例子 2．度量空间中的开集和闭集 3．度量空间的子空间 4．度量空间的直积 练习 2 拓扑空间 1．基本定义 2．拓扑空间的子空间 3．拓扑空间的直积 练习 3 紧集 1．紧集的定义和一般性质 2．度量紧集 练习 4 连通的拓扑空间 练习 5 完备的度量空间 1．基本定义和例子 2．度量空间的完备化 练习 6 拓扑空间的连续映射 1．映射的极限 2．连续映射 练习 7 压缩映像原理 练习 第十章 线性赋范空间中的微分学 1 线性赋范空间 1．分析中一些线性空间的例子 2．线性空间中的范数 3．向量空间中的数量积 练习 2 线性和多重线性算子 1．定义和例子 2．算子的范数 3．连续算子空间 练习 3 映射的微分 1．在一点可微的映射 2．微分法的一般法则 3．一些例子 4．映射的偏导数 练习 4 有限增量定理和它的应用的一些例子 1．有限增量定理 2．有限增量定理应用的一些例子 练习 5 高阶导映射 1．n阶微分的定义 2．沿向量的导数和n阶微分的计算 3．高阶微分的对称性 4．若干评注 练习 6 泰勒公式和极值的研究 1．映射的泰勒公式 2．内部极值的研究 3．一些例子 练习 7 一般的隐函数定理 练习 第十一章 重积分 1 n维区间上的黎曼积分 1．积分定义 2．函数黎曼可积的勒贝格准则 3．达布准则 练习 2 集合上的积分 1．容许集 2．集合上的积分 3．容许集的测度（体积） 练习 3 积分的一般性质 1．作为线性泛函的积分 2．积分的可加性 3．积分的估计 练习 4 化重积分为累次积分 1．富比尼定理 2．一些推论 练习 5 重积分中的变量替换 1．问题的提出和变量替换公式的预期结论 2．可测集和光滑映射 3．一维情形 4．Rn中最简微分同胚的情形 5．映射的复合和变量 替换公式 6．积分的可加性和积分变量替换公式证明的完成 7．重积分变量替换公式的一些推论和推广 练习 6 反常重积分 1．基本定义 2．反常积分收敛性的控制判别法 3．反常积分中的变量替换 练习 第十二章 Rn中的曲面及微分形式 1 Rn中的曲面 练习 2 曲面的定向 练习 3 曲面的边界及其定向 1．带边曲面 2．曲面定向与边界定向的和谐性 练习 4 欧氏空间内曲面的面积 练习 5 微分形式初步 1．微分形式，定义及例子 2．微分形式的坐标记法 3．外微分形式 4．在映射下，向量的转移与形式的转移 5．曲面上的形式 练习 第十三章 曲线积分与曲面积分 1 微分形式的积分 1．原始问题，启发性想法，例子 2．形式沿定向曲面积分的定义 练习 2 体积形式，第一型积分与第二型积分 1．物质曲面的质量 2．作为形式的积分的曲面面积 3．体积形式 4．在笛卡儿坐标下体积形式的表示 5．第一型与第二型积分 练习 3 分析的基本积分公式 1．格林公式 2．高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式 3．R3中的斯托克斯公式 4．一般的斯托克斯公式 练习 第十四章 向量分析与场论初步 1 向量分析的微分运算 1．数量场与向量场 2．R3中的向量场与形式 3．微分算子grad,rot,div及？ 4．向量分析的一些微分公式 5．曲线坐标下的向量运算 练习 2 场论的积分公式 1．用向量表示的经典积分公式 2．div,rot,grad的物理解释 3．一些进一步的积分公式 练习 3 势场 1．向量场的势 2．势场的必要条件 3．向量场具有势的判别准则 4．区域的拓扑结构与势 5．向量势、恰当形式与闭形式 练习 4 应用例子 1．热传导方程 2．连续性方程 3．连续介质动力学基本方程 4．波动方程 练习 第十五章 流形上微分形式的积分 1 线性代数准备知识 1．形式代数 2．斜对称形式代数 3．线性空间中的线性映射及共轭空间中的共轭映射 练习 2 流形 1．流形的定义 2．光滑流形与光滑映射 3．流形及其边界的定向 4．单位分解及流形以Rn中曲面的形式的实现 练习 3 微分形式及其在流形上的积分 1．流形在其一点的切空间 2．流形上的微分形式 3．外微分 4．形式在流形上的积分 5．斯托克斯公式 练习 4 流形上的闭形式与恰当形式 1．庞加莱定理 2．同调与上同调 练习 第十六章 一致收敛性，函数项级数与函数族的基本分析运算 1 逐点收敛与一致收敛 1．逐点收敛 2．基本问题的提出 3．依赖于参数的函数族的收敛性和一致收敛性 4．一致收敛的柯西准则 练习 2 函数项级数的一致收敛性 1．级数一致收敛性的基本定义和判别准则 2．级数一致收敛的魏尔斯特拉斯检验法 3．阿贝尔－狄利克雷检验法 练习 3 极限函数的函数性质 1．问题的具体化 2．两个极限过程可交换的条件 3．连续性与极限过渡 4．积分法与极限过渡 5．微分法与极限过渡 练习 4 连续函数空间的紧子集和稠密子集 1．阿尔采拉－阿斯柯利定理 2．度量空间C（K,Y） 3．斯通定理 练习 第十七章 含参变量的积分 1 含参变量的常义积分 1．含参变量积分的概念 2．含参变量积分的连续性 3．含参变量积分的微分法 4．含参变量积分的积分法 练习 2 含参变量的反常积分 1．反常积分关于参数的一致收敛性 2．反常积分号下取极限和含参变量的反常积分的连续性 3．含参变量的反常积分的微分法 4．含参变量的反常积分的积分法 练习 3 欧拉积分 1．β函数 2．Г函数 3．β函数和Г函数的联系 4．一些例子 练习 4 函数的卷积和广义函数的初步知识 1．物理问题中的卷积（启发性想法） 2．卷积的一些一般性质 3．δ－型函数族和魏尔斯特拉斯逼近定理 4．分布的初步概念 练习 5 含参变量的重积分 1．含参变量的常义重积分 2．含参变量的反常重积分 3．具变奇异性的反常积分 4．高维情形的卷积，基本解和广义函数 练习 第十八章 傅里叶级数与傅里叶变换 1 一些主要的与傅里叶级数有关的一般概念 1．正交函数系 2．傅里叶系数和傅里叶级数 3．分析中正交函数系的一个重要来源 练习 2 傅里叶三角级数 1．经典傅里叶级数收敛性的基本形式 2．傅里叶三角级数逐点收敛性的研究 3．函数的光滑性和傅里叶系数的下降速度 4．三角函数系的完全性 练习 3 傅里叶变换 1．函数的傅里叶积分表示 2．函数的微分性质和渐近性质与其傅里叶变换的联系 3．傅里叶变换的最重要的演算性质 4．应用举例 练习 第十九章 渐近展开 1 渐近公式和渐近级数 1．基本定义 2．渐近级数的一般知识 3．渐近幂级数 练习 2 渐近积分（拉普拉斯方法） 1．拉普拉斯方法的基本思想 2．拉普拉斯积分的局部化原理 3．典型积分及其渐近式 4．拉普拉斯积分的渐近主项 5．拉普拉斯积分的 渐近展开 练习 口试提纲 考试大纲 参考文献 基本符号索引 索引 补序 中文版修订者的话