Fundamentos de la Teoria de los Numeros

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El autor de este libro, Iván Matvéevich Vinográdov (1891), es uno de los más célebres matemáticos de la actualidad. Sus investigaciones están directamente ligadas a los estudios de la escuela de teoría de los números de Petersburgo, a la cual pertenecieron P.L. Chébishev, E.I. Zolotariov, C.F. Voronoy y otros eminentes matemáticos. El desarrollo de la teoría analítica de los números en la URSS durante los últimos 50 años está estrechamente relacionado con el nombre de Vinográdov y su escuela. Actualmente se han publicada más de 140 trabajos científicos de I. M. Vinográdov, entre los cuales merecen especial atención las monografías fundamentales: “Un método nuevo en la teoría analítica de los números” (año 1937) y “Método de las sumas trigonométricas en la teoría de los números” (año 1947). En estas dos monografías se condensan los resultados de todas las investigaciones anteriores del autor, que contribuyeron a la creación de un nuevo método en la teoría de los números. En la actualidad, éste se conoce como el método de Vinográdov de las sumas trigonométricas. Los fundamentos de este método fueron creados ya por él mismo en el año 1934. Este es un método muy general, muy profundo y sumamente fecundo, mediante el cual I. M. Vinográdov consiguió resolver los problemas clásicos de Goldbach, Waring y otros más. En las monografías de I. M. Vinográdov desempeña un papel decisivo la acotación de las sumas trigonométricas múltiples, cuya introducción y estudio representaba de por sí un éxito de grandísima importancia en la teoría de los números. Una de estas acotaciones viene expuesta en el presente libro (véase la pregunta 14 del capítulo VI). En esta reseña no tenemos posibilidad de hacer una exposición detallada de la obra científica de I. M. Vinográdov. Nos limitaremos solamente a enunciar algunos de sus resultados fundamentales. Untitled design Prólogo del traductor Capítulo primero Teoría de la divisibilidad Conceptos y teoremas fundamentales Máximo común divisor Mínimo común múltiplo Relaciones del algritmo de Euclides con las fracciones contínuas Números primos Unicidad de la descomposición en factores primos Preguntas referentes al capítulo I Ejercicios numéricos referentesa al capítulo I Capítulo segundo Las funciones más importantes de la teoría de los números Funciones [x], {x} Sumas extendidas a los divisores de un número Función de Möbius Función de Euler Preguntas referentes al capítulo II Ejercicios numéricos referentes al capítulo II Capítulo tercero Congruencias Conceptos fundamentales Propiedades de las congruencias, semejantesa a las propiedades de las igualdades Otras propiedades de las congruencias Sistema completo de restos Sistema reducido de restos Teoremas de Euler y Fermat Preguntas referentes al capítulo III Ejercicios numéricos referentes al capítulo III Capítulo cuarto Congruencias con una incógnita Conceptos fundamentales Congruencias de primer grado Sistema de congruencias de primer grado Congruencias de cualquier grado respecto de un módulo primo Congruencias de cualquier grado respecto de un módulo compuesto Preguntas referentes al capítulo IV Ejercicios numéricos referentes al capítulo IV Capítulo quinto Congruencias de segundo grado Teoremas generales Símbolo de Legendre Símbolo de Jacobi Caso de un módulo compuesto Preguntas referentes al capítulo V Ejercicios numéricos referentes al capítulo V Capítulo sexto Raices primitivas e índices Teoremas generales Raices primitivas respecto de los módulos p a la alfa y 2p a la alfa Búsqueda de las raices primitivas respecto de los módulos p a la alfa y 2p a la alfa Índices respecto a los módulos p a la alfa y 2p a la alfa Consecencias de la teoría antecedente Índices respecto del módulo 2 a la alfa Índices respecto de cualquier módulo compuesto Preguntas referentes al capítulo VI Ejercicios numéricos referentes al capítulo VI Respuestas a las preguntas Respuestas a las preguntas del capítulo I Respuestas a las preguntas del capítulo II Respuestas a las preguntas del capítulo III Respuestas a las preguntas del capítulo IV Respuestas a las preguntas del capítulo Respuestas a las preguntas del capítulo V Respuestas a las preguntas del capítulo VI Respuestas a los ejercicios numéricos Respuestas a los ejercicios numéricos del capítulo I Respuestas a los ejercicios numéricos del capítulo II Respuestas a los ejercicios numéricos del capítulo III Respuestas a los ejercicios numéricos del capítulo IV Respuestas a los ejercicios numéricos del capítulo V Respuestas a los ejercicios numéricos del capítulo VI Tablas de índices Tabla de los números primos