Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел

Description

Книга является введением в теорию алгебраических чисел. Основные понятия и идеи этой теории изложены в ней в связи с теоремой Ферма. Читатель должен видеть, что их появление не случайно, а диктуется логикой решения конкретной задачи. Одна из целей книги — убедить читателя в глубине и сложности проблематики, связанной с теоремой Ферма, и в полной бесперспективности поисков ее элементарного доказательства. Изложение в книге ведется концентрически, с тем чтобы читатель, даже с минимальной подготовкой (например, школьник), мог усвоить основные идеи. Книга предназначена школьникам старших классов (в ее первых главах), студентам, учителям и всем любителям математики. Она может быть интересна и более квалифицированным читателям, которые хотят познакомиться с теорией алгебраических чисел в ее классическом аспекте. Предисловие История теоремы Ферма (Ферма и его работы по теории чисел. — Теорема Ферма. — Премия Вольфскеля и «ферматисты» — Замечание Грюнерта.— Эйлер, Ламе, Куммер. — Теоремы Куммера. — Теорема Вандивера. — Первый случай теоремы Ферма. — Жермен, ЛеЖандр, Вендт. — Первый случай теоремы Ферма после Куммера.) § 1. Теорема Жермен (Предварительные замечания. — Лемма о произведении п-х степеней. — Формулы Абеля., — Сравнения. — Доказательство теоремы Жермен. — Следствия.) § 2. Теорема Ферма для показателя 4 (Случай показателя 2. — Доказательство теоремы Ферма для показателя 4.) § 3. Теорема Ферма для показателя 3 (Лемма Эйлера, — Вывод теоремы Ферма для показателя 3 из леммы Эйлера) § 4. Арифметика кольца D3 (Эйлерово «доказательство» леммы. — Обсуждение.— Кольцо D3 и поле Кз. ~~, Норма. — Единицы колец. —- Простые элементы. Разложение на простые множители. — Арифметика в кольцах. — Кольца главных идеалов. — Евклидовы кольца. — Алгоритм деления в кольце Эз. —Доказательство леммы Эйлера.) Приложение. Об арифметике многочленов (Неприводимые многочлены. — Неприводимые многочлены и многочлены меньшей степени.) § 5. Поле Kι и кольцо Di (Неприводимость многочлена деления круга. — Поле Kj. — Норма. — Кольцо Число λ и его свойства.) § 6. Единицы кольца Di (Корни из единицы, содержащиеся в кольце — Вещественные единицы — Лемма Куммера) § 7. Первый случай теоремы Ферма (Вспомогательное утверждение. — Вывод первого случая теоремы Ферма из Вспомогательного утверждения. — Доказательство Вспомогательного утверждения в случае, когда в кольце D выполнена основная теорема арифметики.) § 8. Теория дивизоров (Свободные коммутативные моноиды. — Кольца, допускающие теорию дивизоров. — Дивизоры в кольцах с однозначным разложением на множители. — Классы дивизоров. — Регулярные простые числа. — Доказательство Вспомогательного утверждения для регулярных простых чисел) § 9. Второй случай теоремы Ферма (Предварительные замечания, Доказательство теоремы Ферма для регулярных показателей) § 10. Теория идеалов (Примеры идеалов. — Идея Дедекинда. — Моноид идеалов. -- Кольца, аддитивная группа которых является решеткой. — Кольца, алгебраически вкладываемые в поле С. — Конечность числа классов идеалов. — Целозамкнутые кольца. — Свойства идеалов. — Идеалы как дивизоры. — Необходимость условия целозамкнутости.) Приложение. Норма идеала (Сравнения по модулю идеала. — Сравнение по взаимно простым модулям. — Идеалы, порожденные двумя элементами. — Норма идеала. — Индекс. — Пересечение идеалов. — Мультипликативность нормы.— Норма главного идеала.«— Критерий простоты идеала.) § 11. Целые алгебраические числа (Поле алгебраических чисел и кольцо целых алгебраических чисел. — Поля конечной степени. — След. — Целозамкнутость кольца Dj.-Дивизоры в произвольных полях алгебраических чисел.) §12. Регулярные простые числа (Первообразные корни. — Первый и второй множители числа классов. — Редукция ко второму множителю, — Числа Бернулли.— Критерий регулярности Куммера)