Введение в нелинейную динамику: теория, приложения, модели: Учебное пособие для вузов

Description

Учебное пособие представляет собой вводный курс в теорию динамических систем и нелинейную динамику. В нем излагаются теоретические сведения, а также методы и приемы исследования динамических систем, лежащих в основе современной нелинейной динамики. Рассматриваются системы с дискретным временем, описываемые разностными уравнениями, и системы с непрерывным временем, описываемые автономными дифференциальными уравнениями. Значительное место в пособии уделено обсуждению различных приложений и анализу ряда моделей нелинейной динамики. Выбор и анализ моделей определялся как их свойствами, представляющими научный и практический интерес, так и тем, что они дают замечательные иллюстрации основных понятий и методов современной нелинейной динамики. Существенным достоинством пособия является наличие большого числа примеров, а также задач и упражнений, органически связанных с основным изложением. Пособие предназначено для студентов вузов, обучающихся по математическим, физико-математическим и техническим специальностям, в первую очередь, по направлениям подготовки «Прикладная математика и информатика», «Математика», «Математика и компьютерные науки», «Прикладная математика», «Прикладная информатика», «Механика». Предисловие Некоторые используемые обозначения Глава 1. Введение 1.1. Динамические системы: вводные понятия 1.1.1. Понятие динамической системы 1.1.2. Примеры динамических систем 1.2. О классификации динамических систем 1.2.1. Конечномерные и бесконечномерные ДС 1.2.2. Непрерывные и дискретные ДС 1.2.3. Линейные и нелинейные ДС 1.3. Модели с дискретным временем 1.3.1. Дискретная модель Мальтуса 1.3.2. Логистическая модель 1.4. Модели с непрерывным временем 1.4.1. Непрерывная модель Мальтуса 1.4.2. Логистическая модель 1.4.3. Модель Лотки – Вольтерры 1.4.4. Математический маятник 1.4.5. Груз на пружине 1.4.6. Гармонический осциллятор 1.4.7. Нелинейный осциллятор Глава 2.Системы с дискретным временем 2.1. Введение в теорию 2.1.1. Оператор эволюции дискретной ДС 2.1.2. Решения дискретных систем 2.2. Точки равновесия и циклы 2.2.1. Точки равновесия 2.2.2. Циклы 2.3. Одномерные дискретные системы 2.3.1. Паутинная диаграмма 2.3.2. Периодичность Шарковского 2.4. Линейные дискретные системы 2.4.1. Линейные одномерные системы 2.4.2. Точки равновесия линейных ДДС 2.4.3. Циклы линейных ДДС 2.4.4. Гиперболические линейные системы 2.5. Фазовые портреты линейных систем 2.5.1. О фазовых портретах дискретных систем. 2.5.2. Фазовые портреты линейных одномерных систем 2.5.3. Канонические линейные системы 2.5.4. Гиперболические двумерные системы 2.5.5. Негиперболические двумерные системы 2.6. Устойчивость решений 2.6.1. Задача об устойчивости решений 2.6.2. Понятие устойчивости точек равновесия 2.6.3. Признаки устойчивости линейных систем 2.6.4. Устойчивость линейных негиперболических ДДС. 2.6.5. Признаки устойчивости точек равновесия нелинейных ДДС 2.6.6. Об устойчивости двумерных систем 2.6.7. Устойчивость циклов 2.6.8. Признаки устойчивости циклов 2.6.9. Гиперболические точки равновесия и циклы 2.6.10. Аттракторы динамических систем 2.7. О классификации дискретных систем 2.7.1. Топологическая классификация 2.7.2. Свойства топологической эквивалентности 2.7.3. Топологическая классификация линейных систем Глава 3. Системы с непрерывным временем 3.1. Введение в теорию 3.1.1. Оператор эволюции непрерывной ДС 3.1.2. Решения непрерывных динамических систем 3.1.3. О качественном исследовании динамических систем 3.1.4. Свойства решений автономных систем 3.1.5. Фазовые пространства 3.1.6. Основные свойства фазовых траекторий 3.1.7. Точки равновесия и циклы непрерывных систем 3.2. Одномерные системы 3.2.1. Отсутствие периодических решений 3.2.2. Построение фазовых портретов 3.2.3. Линейные одномерные системы 3.2.4. Качественно эквивалентные фазовые портреты 3.3. Линейные системы 3.3.1. Точки равновесия линейной системы 3.3.2. Вспомогательные сведения 3.3.3. Основные типы фазовых портретов двумерных систем 3.3.4. Процедура линеаризации 3.4. Двумерные системы: особенности фазовых портретов 3.4.1. Сепаратрисы особых точек 3.4.2. Теория Пуанкаре – Бендиксона 3.4.3. Вспомогательное утверждение 3.5. Устойчивость и гиперболичность решений 3.5.1. Задача об устойчивости решений 3.5.2. Устойчивость решений по Ляпунову 3.5.3. Признаки устойчивости точек равновесия 3.5.4. Критерий Рауса – Гурвица 3.5.5. Гиперболичность 3.6. О классификации непрерывных динамических систем 3.6.1. Линейная и алгебраическая классификации 3.6.2. Топологическая классификация 3.6.3. Топологическая классификация линейных систем 3.6.4. Теорема Гробмана – Хартмана 3.7. Периодические задачи 3.7.1. Периодические задачи для неавтономных уравнений 3.7.2. Периодические задачи для автономных уравнений 3.7.3. Линейные периодические системы 3.7.4. Признаки устойчивости линейных периодических систем 3.7.5. Теория Флоке 3.7.6. Устойчивость предельных циклов 3.7.7. Аттракторы динамических систем Глава 4. Элементы нелинейной динамики 4.1. Инвариантные многообразия динамических систем 4.1.1. Инвариантные подпространства линейных систем 4.1.2. Инвариантные многообразия нелинейных систем 4.2. Теорема о центральном многообразии 4.2.1. Неединственность центрального многообразия 4.2.2. О построении центрального многообразия 4.2.3. Переход от системы (4.9) к уравнению на центральном многообразии 4.3. Нормальные формы динамических систем 4.3.1. Задача о нормальных формах 4.3.2. Задачи гладкой линеаризации 4.3.3. Резонансы 4.3.4. Задача формальной линеаризации 4.3.5. Задача аналитической линеаризации 4.3.6. Резонансный случай 4.3.7. Теоремы Дюлака 4.4. Структурно устойчивые системы и бифуркации 4.4.1. Вводные понятия 4.4.2. Теорема Андронова – Понтрягина 4.4.3. Элементы теории бифуркаций 4.5. Бифуркации в непрерывных динамических системах 4.5.1. Гиперболический случай 4.5.2. Негиперболический случай 4.5.3. О сценариях бифуркаций 4.5.4. Бифуркация кратного равновесия 4.5.5. Бифуркация Андронова – Хопфа 4.5.6. Как определять сценарии бифуркаций? 4.5.7. Нормальные формы, теорема о центральном многообразии и бифуркации 4.6. Бифуркации отображений и периодических орбит 4.6.1. Бифуркации периодических орбит 4.6.2. Бифуркации в дискретных динамических системах 4.7. Консервативные системы 4.7.1. Вспомогательные сведения 4.7.2. О методе функций Ляпунова в теории устойчивости 4.7.3. Первый интеграл динамической системы 4.7.4. Первые интегралы и задача построения фазовых портретов 4.7.5. Консервативные системы 4.7.6. Диссипативные системы 4.7.7. Консервативность дискретных систем 4.7.8. Устойчивость точек равновесия консервативных систем 4.8. Гамильтоновы системы 4.8.1. Примеры гамильтоновых систем 4.8.2. Автономные гамильтоновы системы 4.8.3. Линейные гамильтоновы системы 4.8.4. Гамильтоновы матрицы и их спектральные свойства 4.8.5. Устойчивость ЛАГС 4.9. Комплексные динамические системы 4.9.1. Точки равновесия, циклы, устойчивость 4.9.2. Бифуркации 4.10. Хаос и фракталы в динамических системах 4.10.1. Детерминированность, случайность, хаос 4.10.2. Детерминированный хаос 4.10.3. Вводные понятия теории фракталов 4.10.4. Понятие фрактального множества Глава 5. Модели нелинейных динамических систем 5.1. Множества Жюлиа и Мандельброта 5.1.1. Квадратичные множества Жюлиа 5.1.2. Множество Мандельброта 5.2. Логистическая модель 5.2.1. Точки равновесия 5.2.2. Устойчивость точек равновесия 5.2.3. Точки бифуркации 5.2.4. О бифуркации удвоения периода 5.2.5. Промежуточные итоги 5.2.6. Бифуркационная диаграмма 5.2.7. Сценарий Фейгенбаума перехода к хаосу 5.3. Модель Хенона 5.3.1. Точки равновесия 5.3.2. Локальные бифуркации 5.4. Модель Лотки – Вольтерры 5.4.1. Точки равновесия 5.4.2. Топологический тип точек равновесия 5.4.3. Консервативность системы Лотки – Вольтерры 5.4.4. Фазовый портрет системы 5.5. Математический маятник 5.5.1. Консервативность и гамильтоновость системы (5.43) 5.5.2. Точки равновесия 5.5.3. Устойчивость точек равновесия 5.5.4. Фазовый портрет математического маятника 5.5.5. О периоде свободных колебаний 5.6. Модель Ван-дер-Поля 5.6.1. Автоколебания в модели Ван-дер-Поля 5.6.2. Периодические задачи 5.7. Модель Лэнгфорда 5.7.1. Точки равновесия и анализ их устойчивости 5.7.2. Точки бифуркации 5.7.3. Возникновение периодических решений 5.7.4. Устойчивость периодического решения 5.7.5. Бифуркации в окрестности периодического решения 5.7.6. Диссипативность системы 5.8. Модель Лоренца 5.8.1. Диссипативность системы 5.8.2. Точки равновесия 5.8.3. Точки бифуркации 5.8.4. Хаотический аттрактор Лоренца 5.9. Модели небесной механики 5.9.1. Задача трех тел 5.9.2. Уравнения движения 5.9.3. Гамильтоновость системы 5.9.4. Точки либрации 5.9.5. Линеаризованная задача 5.9.6. Устойчивость точек либрации Приложение Спектр и спектральные разложения Литература Предметный указатель