Advanced Calculus

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CONTENTS PAGE PREFACE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V Chapter I THE REAL NUMBER SYSTEM SECTION 101. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 1 I 02. Axioms of a field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 103. Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I 04. Axioms of an ordered field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 105. Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 106. Positive integers and mathematical induction . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 I07. Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 108. Integers and rational numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 I09. Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 110. Geometrical representation and absolute value . . . . . . . . . . . . . . . . 14 111. Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 112. Axiom of completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I 7 113. Consequences of completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 114. Exercises......................................................................................................20 Chapter 2FUNCTIONS, SEQUENCES, LIMITS, CONTINUITY 201. Functions and sequences..............................................................22 202. Limit of a sequence........................................................................26 203. Exercises.................................................................................................28 204. Limit theorems for sequences........................................................29 205. Exercises.................................................................................................33 206. Limits of functions..........................................................................34 207. Limit theorems for functions................................................38 208. Exercises.......................................................................................39 209. Continuity...............................................................................42 210. Types of discontinuity....................................................................44 IXx CO N TE N TS 211. Continuity theorems...........................................................46 212. Exercises.............................................................................................46 213. More theorems on continuous functions.....................................47 214. Existence of v'2 and other roots...............................................48 215. Monotonic functions and their inverses.......................................49 216. Exercises..............................................................................................50 *217. A fundamental theorem on bounded sequences....................................53 *218. Proofs of some theorems on continuous functions................................54 *219. The Cauchy criterion for convergence of a sequence............................56 *220. Exercises.....................................................................................................57 *221. Sequential criteria for continuity and existence oflimits. .......................59 *222. The Cauchy criterion for functions........................................................60 *223. Exercises.....................................................................................................61 *224. Uniform continuity....................................................................................63 *225. Exercises.....................................................................................................65 Chapter 3 DIFFERENTIATION 301. 302. 303. 304. 305. 306. 307. 308. 309. 310. 311. 312. 313. 314. 315. 316. 317. 318. 319. 320. *321. *322. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . The . . . . derivative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . One-sided . . . . . . . . derivatives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . theorem . . . . . . and the Law of the Mean . . . . . . . . . . . . . . Rolle's . . . . . . Consequences of the Law of the Mean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Extended . . . The Law of the Mean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Maxima . . . . . . and . . . . minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differentials . . . . . . . . . Approximations by differentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rule. . . L'Hospital's Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . indeterminate . . . The form 0/0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . The . . . indeterminate . . . . form oo/ oo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Other . . . . . indeterminate . forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . tracing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . . loss . . . . of . generality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Without . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chapter 4 67 67 70 73 75 79 80 82 85 88 90 92 94 95 95 97 99 101 102 106 108 108 INTEGRATION 401. The definite integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402. Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . integration . . . . . . . *403. . More theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *404. Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fundamental . . . . . . . 405. The Theorem of Integral Calculus . . . . . . . . . . . . . . . 406. Integration by substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 117 120 125 127 128407. Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 . . . . . . . . . . .C O NTE NTS xi 408. Sectional continuity and smoothness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409. Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . formulas . . 410. Reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411. Exercises . . . . . . . . integrals, . . . 412. Improper introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413. Improper . . . . . . . integrals, finite interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . integrals, infinite interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414. Improper . . . . . . 415. . Comparison tests. Dominance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416. Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Riemann-Stieltjes . . . . . . . *417. The integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *418. . Exercises . . . . . . . . . . . . 131 133 133 135 136 136 139 140 143 146 151 Chapter 5 SOME ELEMENTARY FUNCTIONS *501. *502. *503. *504. 505. 506. 507. 508. 509. *510. *511. *512. The exponential and 1ogarithmic functions . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trigonometric . . . . . . . . The functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . Some . . . . integration . . . . . . . formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . . . . . functions . . Hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hyperbolic . . Inverse functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . of numbers and functions . . . . . . . . . . . . . . . Classification . . . . elementary . . . The functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 155 158 158 161 163 163 165 167 167 169 170 Chapter 6 FUNCTIONS OF SEVERAL VARIABLES 601. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602. Neigh borhoods in the Euclidean plane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sets . . in the Euclidean plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603. . Point . . . . in . . higher-dimensional . 604. Sets Euclidean spaces . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 605. Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606. . Functions . . . . . . . . and . . . limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607. Iterated limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608. Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . and . . . . continuity theorems . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . 609. . Limit . . . . theorems . . 610. . More on continuous functions . . . . . . . . . . . . . . . 611. Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . general . . . . . functions. . . 612. . More Mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *613. Sequences of points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sets . . . and . *614. Point sequences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *615. Compactness and continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *616. Proofs . . . . . . of . . two theorems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . continuity . . *617. . Uniform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 173 174 178 179 181 184 186 187 188 189 190 193 195 196 198 198618. Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 199 . . . . . . . . . . . .C O N T E N TS xii Chapter 7 SOLID ANALYTIC GEOMETRY AND VECTORS 70i. 702. 703. 704. 705. 706. 707. 708. 709. 710. 711. 712. 713. 714. 715. 716. 717. 718. 719. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . and . . . scalars . . . . . . . . and . . subtraction of vectors. Magnitude . . . . . . . . . . . Addition . Linear . . combinations of vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . . . angles . . . . and cosines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Direction . . . . scalar . . . . or inner or dot product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . The . . . . . . . orthogonal to two vectors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Planes . Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . . . Sections, . . . Surfaces. traces, intercepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cylinders . . . . . . . . of . . revolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . standard . . . . . . . quadric . The surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . . . . . . Chapter 8 203 204 206 207 210 211 213 216 217 218 220 222 225 225 226 227 229 231 235 ARCS AND CURVES 801. Duhamel's principle for integrals...........................................................238 *802. A proof with continuity hypotheses.......................................................238 803. Arcs and curves.............................................................................................239 804. Arc length.......................................................................................................241 805. Integral form for arc length....................................................................242 *806. Remark concerning the trigonometric functions..................................247 807. Exercises..........................................................................................................247 808. Cylindrical and spherical coordinates....................................................249 809. Arc length in rectangular, cylindrical, and spherical coordinates .....251 810. Exercises...................................................................................................251 811. Curvature and radius of curvature in two dimensions.........................252 812. Circle of curvature..................................................................................254 *813. Evolutes and involutes ...............................................................................255 814. Exercises..........................................................................................................257 Chapter 9 PARTIAL DIFFERENTIATION 901. 902. *903. 904. 905. 906. 907. Partial derivatives..........................................................................................261 Partial derivatives of higher order.............................................................262 Equality of mixed partial derivatives.........................................................263 Exercises..........................................................................................................264 The fundamental increment formula......................................................266 Differentials....................................................................................................268 Change of variables. The chain rule...................................................269C ONTE NTS *908. Homogeneous functions. Euler's theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909. Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . derivatives. . . . . *910. Directional Tangents and normals . . . . . . . . . . . . . . . *911. Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Law . . . of . . the . . Mean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912. The . . . . . . 913. Approximations by differentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . and minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914. . Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915. Exercises . . . . . . . . . . . . of an implicit function . . . . . . . . . . . . . . . . . 916. Differentiation . . . . . notational . 917. . Some pitfalls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918. Exercises . . . . . . . . of . . a . family . 919. Envelope of plane curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 920. Exercises . . . . . functions . . . . . defined implicitly. Jacobians . . . . . . . . . . . . 921. . Several . . . 922. Coordinate transformations. Inverse transformations. . . . . . . . . . 923. Functional dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924. Exercises . . . . . . with . . . one . constraint. Two variables . . . . . . . . . . . . . . 925. . Extrema . . 926. . Extrema with one constraint. More than two variables . . . . . . . . 927. Extrema with more than one constraint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928. . Lagrange multipliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 929. Exercises . . . . . . . . . . . under . *930. Differentiation the integral sign. Leibnitz's rule . . . . . . . . *931. . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Implicit . . . . . . Function . *932. The Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . theorem for inverse transformations . . . . . . . . . . *933. . Existence . . . . . . *934. . Sufficiency conditions for functional dependence . . . . . . . . . . . . . . . *935. Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chapter 1 0 MULTIPLE INTEGRALS 1001. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002. Double integrals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003. Area . . . . . . formulation . . . 1004. . Second of the double integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . and outer area. Criterion for area . . . . . . . . . . . . . . . . *1005. Inner . . . . . *l006. Theorems on double integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . of . . the second formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *l007. . Proof 1008. Iterated . . . . . . . integrals, . . two variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . of . the Fundamental Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . *1009. Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1010. . Exercises . . . . . integrals. . . . . . . . Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011. Triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012. . Exercises . . . . . . integrals . . . . . . in polar coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013. Double . . . . . . . with double integrals in polar coordinates . . . . . . . . 1014. Volumes .. . 1015. . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . of . . a . plane . . . .. 1016. . Mass region of variable density .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017. Moments and centroid of a plane region . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 1018. Exercises . . . . . . integrals, . . . . . . . cylindrical coordinates .. . . . . . . . . . . . . 1019. Triple . . . . . integrals, . . .. 1020. Triple spherical coordinates . . . . . . . . ... . . . . . . xiii 272 272 275 278 279 281 282 286 288 290 292 293 295 296 300 304 306 308 312 314 317 320 321 324 325 330 331 333 335 335 337 338 339 342 346 347 349 350 352 355 356 359 360 361 362 363 364 3651021. Mass, moments, and centroid of a space region . . . . . .... . 366 . . . . . .xiv CONTE NTS 1022. Exercises...................................................................................................368 1023. Mass, moments, and centroid of an arc.................................................369 1024. Attraction..................................................................................................370 1025. Exercises...................................................................................................372 1026. Jacobians and transformations of multiple integrals..........................373 1027. General discussion...................................................................................375 1028. Exercises...................................................................................................379 Chapter 1 1 INFINITE SERIES OF CO NSTANTS 1101. Basic definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102. Three elementary theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . necessary . . . . . . 1103. A condition for convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . geometric . . . 1104. The series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105. Positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . series . . . . . integral . . . . . . test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106. The . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107. . Exercises . . . . . . . . . tests. . . 1108. Comparison Dominance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ratio . . 1109. The test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . root . . . . test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1110. The . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111. . Exercises . . . . refined . . . . . . tests . *1112. . More . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *1113. Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . of . . arbitrary . . . . 1114. Series terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115. Alternating series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . and . 1116. Absolute conditional convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117. Exercises . . . . . . . . and . . . rearrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118. . Groupings . . . . . . . . subtraction, and multipJication of series . . . . . . . 1119. Addition, . . . . . aids to computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *1120. . Some 1121. Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chapter 12 381 382 382 383 383 384 385 387 390 392 393 395 397 398 398 399 401 404 405 407 410 POWER SERIES 1201. Interval of convergence..........................................................................412 1202. Exercises...................................................................................................415 1203. Taylor series.............................................................................................416 1204. Taylor's formula with a remainder........................................................418 1205. Expansions of functions..........................................................................419 1206. Exercises...................................................................................................421 1207. Some Maclaurin series............................................................................421 1208. Elementary operations with power series.............................................425 1209. Substitution of power series...................................................................427 1210. Integration and differentiation of power series.....................................431 1211. Exercises...................................................................................................433 1212. Indeterminate expressions.......................................................................435 1213. Computations...........................................................................................435 1214. Exercises...................................................................................................438 1215. Taylor series, several variables...............................................................4381216. Exercises...................................................................................................440CON TE N TS xv *Chapter 1 3 UNIFORM CONVERGENCE AND LIMITS *1301. *1302. *1303. *1304. *1305. *1306. *1307. *1308. *1309. *1310. *1311. *1312. *1313. *1314. *1315. Uniform convergence of sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uniform . . . . . . . convergence of series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . and the Weierstrass M-test . . . . . . . . . . . . . . . . Dominance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . Uniform . . . . . . convergence . . . . . and continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . convergence and integration . . . . . . . . . . . . . . . . . Uniform . . . . . . . convergence and differentiation . . . . . . . . . . . . . . Uniform . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . series. . . . . . . Abel's . Power theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . of Abel's theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . . defined . . . . by power series. Exercises . . . . . . . . . . . . . . Functions . Uniform . . limits of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . theorems . . Three on uniform limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *Chapter 1 4 441 444 445 446 448 449 451 453 455 456 457 458 459 460 461 IMPROPER INTEGRALS *1401. *1402. *1403. *1404. *1405. *1406. *1407. *1408. *1409. *1410. *1411. *1412. *1413. *1414. *1415. *1416. *1417. *1418. *1419. *1420. Introduction. Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Alternating Abel's test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . integrals. . . . . . . . . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uniform . . . . . . . convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . and the Weierstrass M-test . . . . . . . . . . . . . . . . Dominance . . . . Cauchy . . . The criterion and Abel's test for uniform convergence . . . Three theorems on uniform convergence . . . . . . . . . . . . . . . . Evaluation . . . . . . of improper integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . gamma . . . . . . function . . The . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . beta . . . . function . The . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . . products. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Infinite . . . . . . . infinite . . Wallis's product for 7T • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Euler's constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stirling's . . . . . . . formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .·,. s infinite product for l / I'(a) . . . . . . . . . . . . . . . Weierstrass' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . . . multiple . . . . Improper integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . . . . . . . Chapter 1 5 463 464 466 467 469 471 473 475 478 480 482 484 486 488 489 490 491 493 493 495 COMPLEX VARIABLES 1501. Introduction..............................................................................................496 1502. Complex numbers....................................................................................496 1503. Embedding of the real numbers..............................................................497 1504. The number i .......................................................................................498 1505. Geometrical representation......................................................................498CO N TE N TS xvi 1506. 1507. 1508. 1509. 1510. 1511. 1512. 1513. 1514. *1515. Polar form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conjugates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Roots . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Limits . . . . . and . . . continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . and series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . . . . . . . functions of a real variable . . . . . . . . . . . . Complex-valued . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fundamental . . . . . . . The Theorem of Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chapter 1 6 499 501 502 503 506 507 509 509 513 515 FO URIER SERIES 1601. 1602. 1603. 1604. 1605. 1606. 1607. 1608. 1609. 1610. 1611. 1612. *1613. *1614. *1615. *1616. *1617. *1618. *1619. *1620. *1621. *1622. *1623. *1624. 1625. 1626. 1627. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Linear . . . . . function . . . . . spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Periodic . . . . . . functions. . The space R 2 7T • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Inner product. Orthogonality. Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . squares. Fourier coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Least . Fourier . . . . series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . convergence . . . . . . . . . theorem. The space S 2 A Bessel's inequality. Parseval's equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cosine . . . . series. Sine series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Other . . . . . intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . sums Partial . . . . of . . Fourier series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . with one-sided limits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Functions . . . . Riemann-Lebesgue . . . . The Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . of . . . the convergence theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proof . Fejer's . . . . . summability . theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . summability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uniform . . . . . . . . . s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Weierstrass' . . . . . . . of . . trigonometric polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . Density . Some . . . . . consequences . of density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Further . . . . . . remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . orthonormal . . . Other systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . . . . . of . . Fourier series. The vibrating string . . . . . . . . . Applications . A . heat conduction problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chapter 1 7 7T • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 517 518 519 520 524 525 528 529 532 534 535 536 538 539 539 540 540 542 542 543 545 546 547 547 548 550 551 VECTOR ANALYSIS 1701. Introduction .................................................................................................554 1702. The vector or outer or cross product .......................................................554 1703. The triple scalar product. Orientation in space ..................................556 1704. The triple vector product ...........................................................................559 1705. Exercises...................................................................................................560 1706. Coordinate transformations..................................................................562 1707. Translations ...........................................................................................564.CO N TE N TS 1708. 1709. 1710. 1711. 1712. 1713. 1714. 1715. *1716. *1717. *1718. *1719. Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Scalar . . . . and . . . vector . . . . fields. . Vector functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ordinary derivatives of vector functions . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . gradient . . The of a scalar field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . The . . . divergence . . . . and curl of a vector field . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relations . . . . among vector operations . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . of the coordinate system . . . . . . . . . . . . . . . . Independence . Curvilinear . . . . . . coordinates. Orthogonal coordinates . . . . . . . . . . . . . Vector operations in orthogonal coordinates . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chapter 1 8 xvii 564 567 568 569 570 572 573 574 576 578 580 582 LINE AND SURFACE INTEGRALS 1801. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1802. Line integrals in the plane . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1803. Independence of path and exact differentials . . . . . . . . . . . . . . . . . 1804. . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Theorem . . . . . . in the plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1805. Green's . . . . . exactness . 1806. . Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . and . . multiply-connected regions . . . . . . . . . . . . . . . 1807. Simply- . . . . . . . 1808. Equivalences in simply-connected regions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1809. . Exercises . . . . . . functions . . . . . . of a complex variable. exercises . . . . . . . . . *1810. Analytic . 1811. . Surface elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . surfaces . . 1812. Smooth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1813. Schwarz's . . . . . . . area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1814. Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1815. Exercises . . . . . . integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816. . Surface . . . . . . . . . smooth surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1817. Orientable . . . . . . . . with edges and corners . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1818. Surfaces . . . . divergence . . . . 1819. The theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1820. . Green's . . . . . . . . . functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1821. Harmonic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1822. Exercises . . . . . . . . sectionally . . . 1823. . Orientable smooth surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1824. Stokes's . . . . . . . . . of path. Scalar potential . . . . . . . . . . . . . . . . . 1825. Independence . . . . . potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *1826. Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1827. . Exercises . . . . . . differential . . . . . *1828. Exterior forms. Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chapter 19 584 584 587 591 593 596 598 601 602 605 610 613 616 617 620 621 623 624 625 629 630 631 632 635 638 640 641 643 DIFFERENTIAL GEOMETRY 1901. Introduction..........................................................................................646 1902. Curvature. Osculating plane . . . . . . . . . . . . . . .·...................646 1903. Applications to kinematics.......................................................................6491904. Torsion. The Frenet formulas............................................................650xviii C ONT E NTS 1905. Local behavior..........................................................................................653 1906. Exercises .............................................................................................................655 1907. Curves on a surface. First fundamental form...................................657 1908. Intersections of smooth surfaces ..............................................................659 1909. Plane sections. Meusnier's theorem.....................................................660 1910. Normal sections. Mean and total curvature......................................662 1911. Second fundamental form.....................................................................666 1912. Exercises...................................................................................................670 ANSWERS TO PROBLEMS ........................................................................................673 INDEX ...................................................................................................................... 693