Théorie des équations différentielles ordinaires et des équations intégrales

Description

Page de titre......Page 1 Préface des rédacteurs......Page 8 LEÇONS SUR LA THÉORIE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES......Page 9 Note sur la septième édition......Page 10 1. Définitions, exemples......Page 11 2. Interprétation géométrique. Un problème et sa généralisation......Page 12 3. Équation de la forme dy/dx = f(x)......Page 17 4. Équation de la forme dy/dx = f(y)......Page 20 5. Équation à variables séparables......Page 21 6. Équations homogènes......Page 24 7. Équations linéaires......Page 26 8. Équations aux différentielles totales......Page 29 9. Lignes polygonales d'Euler......Page 33 10. Théorème d'Arzelà......Page 35 11. Démonstration de l'existence d'une solution de l'équation différentielle y' = f(x,y) par la méthode de Peano......Page 37 12. Théorème d'unicité d'Osgood......Page 44 13. Lignes polygonales d'Euler (un résultat complémentaire)......Page 48 14. Méthode des approximations successives......Page 49 15. Principe des applications contractantes......Page 56 16. Interprétation géométrique du principe des applications contractantes......Page 60 17. Théorème de Cauchy pour l'équation différentielle y' = f(x,y) à second membre holomorphe......Page 62 18. Degré de régularité des solutions des équations différentielles......Page 66 19. Dépendance de la solution par rapport aux données initiales et au second membre de l'équation......Page 67 20. Lemme d'Hadamard......Page 72 21. Théorème de la dépendance de la solution par rapport aux paramètres......Page 73 22. Points singuliers......Page 77 23. Courbes singulières......Page 82 24. Comportement global des courbes intégrales......Page 83 25. Équations non résolues par rapport à la dérivée......Page 86 26. Enveloppes......Page 95 27. Réduction à un système d'équations du premier ordre......Page 99 28. Interprétation géométrique. Définitions......Page 100 29. Théorèmes fondamentaux......Page 102 30. Principe des applications contractantes et systèmes d'équations opératorielles......Page 109 31. Principe des applications contractantes et système d'équations différentielles......Page 112 32. Définitions. Conséquences de la théorie générale des systèmes d'équations différentielles......Page 116 33. Théorèmes fondamentaux pour les systèmes homogènes du premier ordre......Page 118 34. Une expression du wronskien......Page 123 35. Formation d'un système différentiel linéaire homogène à partir d'un système fondamental de solutions......Page 124 36. Conséquences pour une équation différentielle d'ordre n......Page 125 37. Réduction de l'ordre d'une équation linéaire homogène......Page 128 38. Zéros des solutions des équations linéaires homogènes d'ordre 2......Page 130 39. Système d'équations linéaires non homogènes du premier ordre......Page 133 40. Conséquence pour une équation linéaire non homogène d'ordre n......Page 135 41. Transformation d'un système......Page 138 42. Théorème sur la réductîon à la forme canonique......Page 143 43. Invariants par une transformation linéaire......Page 147 44. Diviseurs élémentaires......Page 149 45. Recherche d'un système fondamental de solutions pour un système homogène......Page 152 46. Cas d'une équation différentielle homogène d'ordre n......Page 156 47. Recherche des solutions particulières des systèmes non homogènes......Page 158 48. Réduction de l'équation dy/dx = (ax+by)/(cx+dy) à la forme canonique......Page 161 49. Solutions stables au sens de Liapounov......Page 163 50. Un exemple physique......Page 171 51. Généralités......Page 175 52. Trois types de trajectoires......Page 179 53. Comportement asymptotique des trajectoires......Page 180 54. Fonction de conséquence......Page 183 55. Théorème de Bendixson......Page 186 56. Voisinage d'un point d'équilibre dans le plan. I......Page 188 57. Voisinage d'un point d'équilibre dans le plan. II......Page 192 58. Théorie des indices......Page 199 59. Théorème du point fixe de Brouwer......Page 204 60. Applications du théorème de Brouwer......Page 206 61 Équations smi_linéaires......Page 209 62. Intégrales premières d'un système d'équations différentielles ordinaires......Page 216 63. Équations quasi linéaires......Page 220 64. Solutions généralisées des équations linéaires et quasi linéaires......Page 224 65. Équations non linéaires......Page 231 66. Équation de Pfaff......Page 239 LEÇONS SUR LA THÉORIE DES ÉQUATIONS INTÉGRALES......Page 243 Note sur la deuxième édition......Page 244 Préface à la quatrième édition......Page 245 1. Définitions. Exemples......Page 248 2. Problèmes types qui conduisent à des équations intégrales linéaires......Page 249 3. Analogie entre les équations intégrales linéaires et les équations algébriques linéaires. Théorèmes de Fredholm......Page 254 4. Équations intégrales à noyau dégénéré......Page 259 5. Équations intégrales à noyau continu suffisamment petit en valeur absolue......Page 266 6. Équations intégrales à noyau proche d'un noyau dégénéré......Page 272 7. Équations intégrales à noyau uniformément continu......Page 276 8 Équations integrales à noyau de la forme etc......Page 277 9. Exemples d'équations intégrales singulières......Page 287 10. Équations de Volterra......Page 289 11. Certaines relations fonctionnelles (espace fonctionnel) et leurs homologues géométriques......Page 293 12. Existence des fonctions propres des équations intégrales à noyau symétrique......Page 304 13. Quelques propriétés des fonctions propres et des valeurs propres des équations intégrales à noyau symétrique......Page 312 14. Théorème de Hilbert-Schmidt......Page 318 15. Théorème de développement des noyaux......Page 323 16. Classification des noyaux......Page 325 17. Théorème de Dini et ses applications......Page 326 18. Exemple......Page 330 ANNEXE 19. Réduction canonique d'une forme quadratique par une transformation orthogonale......Page 333 20. Théorie des équations intégrales à noyau symétrique appartenant à la classe des fonctions de carré intégrable au sens de Lebesgue......Page 339 Bibliographie......Page 349 Index......Page 353