Элементарная математика. Повторительный курс

Description

В. В. Зайцев, В. В. Рыжков, М. И. Сканави Элементарная математика......Page 1 ОГЛАВЛЕНИЕ......Page 4 Предисловие ко второму изданию......Page 10 О пользовании книгой......Page 12 Введение......Page 14 1. Натуральные числа......Page 19 2. Простые и составные числа. Признаки дели¬мости......Page 21 3. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное......Page 23 4. Целые числа. Рациональные числа......Page 25 5. Десятичные дроби. Представление рациональных чисел десятичными дробями......Page 29 6. Иррациональные числа. Действительные числа......Page 32 7. Действия с приближенными числами......Page 36 8. Числовая ось. Координаты точки на плоскости......Page 41 Упражнения......Page 46 9. Степени с натуральными показателями......Page 47 10. Степени с целыми показателями......Page 48 11. Корни......Page 49 12. Степени с рациональными показателями. Степени с действительными показателями......Page 52 13. Алгоритм извлечения квадратного корня......Page 53 Упражнения......Page 57 14. Основные понятия и определения......Page 58 15. Рациональные действия с комплексными числами......Page 60 16. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа......Page 63 17. Действия с комплексными числами, заданными в тригонометрической форме. Формула Муавра......Page 66 18. Извлечение корня из комплексного числа......Page 67 Упражнения......Page 70 19. Алгебраические выражения Одночлены и многочлены......Page 71 20. Формулы сокращенного умножения......Page 75 21. Бином Ньютона......Page 76 22. Разложение многочлена на множители......Page 79 23. Дробные алгебраические выражения......Page 80 24. Радикалы из алгебраических выражений......Page 81 25. Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби......Page 85 Упражнения......Page 86 26. Определение и свойства логарифмов......Page 88 27. Логарифмы по различным основаниям. Модуль перехода......Page 93 28. Характеристика и мантисса десятичного логарифма......Page 95 29. Применение десятичных логарифмов к вычислениям......Page 99 Упражнения......Page 101 30. Величина. Числовые множества......Page 102 31. Определение функции......Page 103 32. График функции. Способы задания функций......Page 104 33. Элементарное исследование поведения функции......Page 107 35. Обратная функция......Page 110 36. Функции нескольких переменных......Page 113 37. Обзор элементарных функций......Page 114 38. Линейная функция......Page 116 39. Квадратичная функция у=ах^2......Page 119 40. Степенная функция у=х^п......Page 121 42. Показательная функция......Page 117 Упражнения......Page 128 44. Параллельный сдвиг графика......Page 129 45. График квадратного трехчлена......Page 131 46. График дробно линейной функции......Page 134 47. Преобразование симметрии. Сжатие и растяжение графика......Page 135 48. Построение графиков функций у=| f (х)|, y = f (| х |), у=| f (| х |) |......Page 137 49. Сложение графиков......Page 141 50. Целые и дробные рациональные функции. Деление многочленов......Page 143 § 4. Некоторые сведения о рациональных функциях......Page 144 51. Схема Горнера. Теорема Везу......Page 146 52. Нули многочлена. Разложение многочлена на множители......Page 148 Упражнения......Page 151 53. Уравнение. Корни уравнения......Page 152 54. Равносильные уравнения......Page 153 55. Системы уравнений......Page 156 56. Графическое решение уравнений......Page 158 57. Число и кратность корней......Page 159 58. Уравнения первой степени (линей¬ные уравнения)......Page 160 59. Уравнения второй степени (квадратные уравнения)......Page 161 60. Формулы Виета. Разложение квадратного трехчлена на множители......Page 165 61. Исследование квадратного уравнения......Page 166 62. Уравнения высших степеней. Целые корни......Page 168 63. Двучленные уравнения......Page 170 64. Уравнения, сводящиеся к квадратным......Page 171 Упражнения......Page 173 66. Линейные системы......Page 174 67. Определители второго порядка Исследование линейных систем двух уравнений с двумя неизвестными......Page 177 68. Системы, состоящие из уравнения второй степени и линейного уравнения......Page 184 69. Примеры систем двух уравнений второй степени. Системы уравнений высших степеней......Page 187 Упражнения......Page 191 70. Иррациональные уравнения......Page 192 71. Показательные уравнения......Page 196 72. Логарифмические уравнения......Page 198 73. Разные уравнения. Системы уравнений......Page 200 Упражнения......Page 202 74. Свойства неравенств Действия над неравенствами......Page 204 75. Алгебраические неравенства......Page 209 76. Множество решений неравенства. Равносильные неравенства......Page 211 § 2. Решение неравенств......Page 212 77. Графическое решение неравенств......Page 213 78. Линейные неравенства. Системы линейных неравенств......Page 214 79. Квадратные неравенства......Page 218 80. Неравенства высших степеней. Неравенства, содержащие дробные рациональные функции от x......Page 220 81. Иррациональные, показательные и логарифмические неравенства......Page 223 82. Неравенства с двумя неизвестными......Page 226 Упражнения......Page 228 83. Числовая последовательность......Page 229 84. Предел числовой последовательности......Page 231 85. Бесконечно малые. Правила предельного перехода......Page 236 86. Арифметическая прогрессия. Формула общего члена......Page 239 87. Свойства арифметической прогрессии......Page 240 88. Формула для суммы п членов арифметической прогрессии......Page 241 Упражнения......Page 242 89. Геометрическая прогрессия Формула общего члена......Page 243 90. Свойства геометрической прогрессии......Page 245 91. Формулы для суммы п членов геометрической прогрессии......Page 246 92. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия......Page 247 Упражнения......Page 248 93. Вектор, проекция вектора......Page 250 95. Углы и дуги, большие 360°......Page 252 96. Отрицательные углы Сложение и вычитание углов......Page 253 97. Определение основных тригонометрических функций......Page 255 § 2. Тригонометрические функции произвольного угла......Page 254 98. Изменение основных тригонометрических функций при изменении угла от 0 до 2*пи......Page 260 99. Основные тригонометрические тождества......Page 265 100. Вычисление значений тригонометрических функций по значению одной из них......Page 267 101. Значения тригонометрических функций некоторых углов......Page 268 Упражнения......Page 270 102. Четность и нечетность......Page 271 103. Понятие периодической функции......Page 272 104. Периодичность тригонометрических функций......Page 274 105. Зависимость между тригонометрическими функциями дополнительных углов......Page 277 106. Формулы приведения......Page 279 Упражнения......Page 284 107. Определение......Page 285 109. Некоторые неравенства и их следствия......Page 286 110. Первоначальные сведения о таблицах тригонометрических функций......Page 288 111. Основные графики......Page 289 112. Примеры построения графиков некоторых других тригонометрических функций......Page 294 113. Дальнейшие примеры построения графиков функций......Page 296 Упражнения......Page 299 114. Расстояние между двумя точками на плоскости......Page 300 115. Косинус суммы и разности двух аргументов......Page 301 116. Синус суммы и разности двух аргументов......Page 302 117. Тангенс суммы и разности двух аргументов......Page 303 119. Тригонометрические функции двойного аргумента......Page 304 120. Выражение sin па и cos па через степени sin а и cos а при натуральном числе п......Page 305 121. Тригонометрические функции половинного аргумента......Page 307 122. Выражение основных тригонометрических функций аргумента а через tg (а/2)......Page 309 Упражнения......Page 310 124. Примеры......Page 311 Упражнения......Page 312 125. Основные формулы......Page 313 126. Примеры......Page 314 Упражнения......Page 316 127. Преобразование в произведение выражения a* sin a + b *cos а......Page 317 128. Преобразование в произведение выражений a*sina+b и a*cosa +b при 0 < | b | < | а |......Page 318 Упражнения......Page 319 130. Функция y = arcsin х (арксинус)......Page 320 131. Функция y=arccos х (арккосинус)......Page 322 132. Функция у=arctg х (арктангенс)......Page 323 133. Функция у= arcctg x (арккотангенс)......Page 325 134. Пример......Page 326 Упражнения......Page 327 135. Тригонометрические операции......Page 328 136. Операции сложения (вычитания)......Page 333 Упражнения......Page 336 137. Функция у=arc sin (sin х)......Page 337 138. Функция y = arc tg (tg х)......Page 338 Упражнения......Page 339 § 1. Уравнения, разрешенные относительно одной из тригонометрических функций......Page 340 139. Уравнение sin х = а......Page 341 140. Уравнение cos х=а......Page 342 142. Уравнение ctg х=а......Page 344 143. Некоторые дополнения......Page 345 144. Сущность способа......Page 346 145. Некоторые типы уравнений, приводящихся к уравнениям относительно функции одного аргумента......Page 347 146. Способ разложения на множители......Page 351 147. Решение рациональных тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки tg (x/2) = t......Page 354 148. Введение вспомогательного аргумента......Page 357 149. Преобразование произведения в сумму или разность......Page 359 150. Переход к функциям удвоенного аргумента......Page 360 151. Решение уравнения типа tga*x + tgb*x=tgc*x + tgd*x......Page 363 152. Применение подстановок sin x ± cos х = у......Page 365 153. Системы тригономе¬трических уравнений......Page 366 Упражнения......Page 374 154. Простейшие тригонометрические неравенства......Page 375 155. Примеры тригонометрических неравенств, сводящихся к простейшим......Page 378 Упражнения......Page 379 156. Точка. Прямая. Луч. Отрезок......Page 380 157. Плоскость. Фигуры и тела......Page 381 158. Угол......Page 382 159. Ломаная линия Многоугольник......Page 383 160. Равенство фигур. Движение......Page 385 162. Сложение отрезков. Длина отрезка......Page 387 163. Общая мера двух отрезков......Page 390 164. Сравнительная длина отрезков и ломаных......Page 391 165. Измерение углов......Page 392 166. Радианная мера угла......Page 394 167. Измерение площадей......Page 396 168. Площадь прямоугольника Объем прямоугольного параллелепипеда......Page 398 § 1. Перпендикулярные и параллельные прямые......Page 400 169. Перпендикуляр и наклонные......Page 401 171. Параллельные прямые......Page 403 172. Углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей......Page 405 173. Углы с параллельными или перпендикулярными сторонами......Page 406 175. Свойство биссектрисы угла......Page 408 176. Окружность......Page 409 177. Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная и секущая......Page 410 178. Хорда и диаметр. Сектор и сегмент......Page 412 179. Взаимное расположение двух окружностей......Page 413 180. Линейка и циркуль......Page 415 181. Деление отрезка пополам. Построение перпендикуляров......Page 416 182. Построение углов......Page 417 183. Другие задачи на построение......Page 419 Упражнения......Page 420 § 1. Треугольники......Page 421 184. Стороны и углы треугольника......Page 422 185. Биссектрисы треугольника. Вписанная окружность......Page 423 186. Оси симметрии сторон треугольника. Описанная окружность......Page 424 188. Равенство треугольников......Page 426 189. Построение треугольников......Page 428 191. Прямоугольные треугольники......Page 431 192. Четырехугольники......Page 433 193. Параллелограмм и его свойства......Page 434 194. Прямоугольник......Page 435 195. Ромб. Квадрат......Page 436 196. Трапеция......Page 437 197. Средняя линия треугольника......Page 440 198. Средняя линия трапеции......Page 441 199. Деление отрезка на равные части......Page 442 200. Площадь параллелограмма......Page 443 201. Площадь треугольника......Page 444 202. Площадь трапеции......Page 446 203. Пропорциональные отрезки......Page 447 204. Свойства биссектрис внутреннего и внешнего углов треугольника......Page 450 205. Определение гомотетичных фигур......Page 452 206. Свойства преобразования подобия......Page 454 207. Подобные фигуры......Page 457 208. Периметры и площади подобных треугольников......Page 460 209. Применение подобия к решению задач на построение......Page 461 Упражнения......Page 462 210. Углы с вершиной на окружности......Page 463 211. Углы с вершиной внутри и вне круга......Page 464 212. Угол, под которым виден данный отрезок......Page 465 213. Четырехугольники, вписанные в окружность......Page 467 214. Пропорциональные отрезки в круге......Page 468 215. Задачи на построение......Page 469 216. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора......Page 471 217. Квадрат стороны, лежащей против острого или тупого угла в треугольнике Теорема косинусов......Page 474 218. Теорема синусов. Формула Герона......Page 477 219. Радиусы вписанной и описанной окружностей......Page 479 Упражнения......Page 481 220. Таблицы функций......Page 482 221. Решение треугольников. Сводка основных формул......Page 488 222. Решение прямоугольных треугольников......Page 490 223. Решение косоугольных треугольников......Page 491 Упражнения......Page 499 224. Выпуклые многоугольники......Page 500 225. Правильные многоугольники......Page 502 226. Соотношения между стороной, радиусом и апофемой......Page 503 227. Периметр и площадь правильного n-угольника......Page 504 228. Удвоение числа сторон правильного многоугольника......Page 505 229. Длина окружности......Page 508 230. Площадь круга и его частей......Page 511 § 1. Взаимное расположение прямых и плоскостей......Page 514 231. Взаимное расположение двух прямых в пространстве......Page 515 232. Взаимное расположение прямой линии и плоскости......Page 516 234. Свойства параллельных прямых и плоскостей......Page 519 § 2. Перпендикулярность прямых и плоскостей......Page 521 236. Перпендикуляр к плоскости......Page 522 237. Перпендикуляр и наклонные......Page 524 238. Угол между прямой и плоскостью......Page 525 239. Связь между перпендикулярностью и параллельностью прямых и плоскостей......Page 526 240. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых......Page 527 241. Двугранный угол......Page 529 242. Взаимно перпендикулярные плоскости......Page 530 243. Трехгранные углы......Page 531 244. Многогранные углы......Page 535 245. Многогранники......Page 536 246. Правильные многогранники......Page 537 Упражнения......Page 539 247. Цилиндры и призмы......Page 540 248. Параллелепипеды......Page 543 249. Объемы призм и цилиндров......Page 544 250. Площадь боковой поверхности призмы......Page 545 251. Площадь поверхности цилиндра......Page 546 252. Свойства пирамиды и конуса......Page 548 § 2. Пирамида. Конус......Page 547 253. Объем пирамиды и конуса......Page 552 254. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды и конуса......Page 555 255. Усеченный конус и усеченная пирамида......Page 557 256. Шар и шаровая поверхность......Page 560 257. Объем шара и его частей......Page 563 258. Площадь поверхности шара и ее частей......Page 567 259. Понятие телесного угла......Page 569 Упражнения......Page 570 Ответы к упражнениям......Page 571 Приложения......Page 582 Предметный указатель......Page 584