Существование и построение анизотропных решений многомерного уравнения нелинейной диффузии. II

Description

Для многомерного уравнения нелинейной диффузии $u_t=\nabla\cdot (u^{\lambda}\nabla u)$, $u\overset{\triangle}\to{=}u({\bold x},t): \Omega\times\overline{\Bbb R}^+\to\Bbb R^+$, ${\bold x}\in\Bbb R^n,$ предложена оригинальная форма решений$$ u({\bold x},t)=[\lambda [\frac{1}{2}({\bold x},A_1(t){\bold x})+ ({\bold x},{\bold B}_1(t))+C_1(t)]^p_+ + \lambda [\frac{1}{2}({\bold x},A_2(t){\bold x})+ ({\bold x},{\bold B}_2(t))+C_2(t)] ]_+^{1/\lambda}, $$с помощью которой исследование исходного уравнения сведено к изучению конечномерной переопределенной (число уравнений превосходит число искомых функций, подлежащих определению) системе алгебро-дифференциальных уравнений (АДУ). Здесь $A_k(t)$ - вещественные симметричные матрицы с элементами $a_{kij}(t)\in C^1(\overline{\Bbb R}^+), {\bold B}_k(t)$ - вектор-столбцы с компонентами $b_{ki}(t)\in C^1(\overline{\Bbb R}^+)$ и $C_k(t)\in C^1(\overline{\Bbb R}^+)$ - скалярные функции; $\Omega\subset\Bbb R^n$ - ограниченная область; $\Bbb R^+=(0,\infty);\lambda ,p\in\Bbb R;\lambda ,p\ne 0;k=1,2$. \parВ силу специфики задачи исследование предъявленной системы АДУ распадается на два независимых случая: $p\ne 2$, $p=2$. При определенных предположениях доказано, что задача Коши для изучаемой системы АДУ обладает решением, отличным от тривиального как при $p\ne 2$, так и при $p=2$. На основе этого результата найдено многопараметрическое семейство новых точных неавтомодельных анизотропных по пространственным переменным, явных неотрицательных решений исследуемого уравнения. Основное внимание уделено изучению уравнений быстрой $(-1