Introducción a la teoría de números

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Examina la noción de divisibilidad y aborda las propiedades elementales de las congruencias; estudia la existencia de raíces y las congruencias cuadráticas, para concluir con el estudio de algunas ecuaciones diofantinas de grado 2 y 3, además de la llamada ecuación de Pell. El autor se centra en el tema de la criptografía. Portada Autor Índice general Prólogo Matemáticos cuyos trabajos se han citado en el libro Lista de símbolos más usados I. El teorema fundamental de la aritmética I.1 Divisibilidad I.1.1 El algoritmo de la división I.1.2 Máximo común divisor Ejercicios I.2 Primos y factorización única I.2.1 Factorización única I.2.2 La criba de Eratóstenes I.2.3 Infinitud del conjunto de primos Ejercicios I.3 El algoritmo de Euclides I.3.1 El mínimo común múltiplo Ejercicios I.4 Ecuaciones diofantinas lineales Ejercicios II. Congruencias y criptografía II.1 Congruencias y aritmética modular II.1.1 Congruencias lineales Ejercicios II.2 Los teoremas de Fermat y Euler Ejercicios II.3 Criptografía II.3.1 Cifradores de substitución II.3.2 Criptoanálisis Ejercicios II.4 El criptosistema RSA II.4.1 Un algoritmo para calcular potencias y raíces II.4.2 Un algoritmo para escribir un decimal en binario II.4.3 Eficiencia de algunos algoritmos II.4.4 Eficiencia del algoritmo de Euclides II.4.5 Eficiencia del cálculo de potencias y raíces módulo n II.4.6 Firmas digitales Ejercicios III. Números perfectos y funciones multiplicativas III.1 Primos de Mersenne y números perfectos Ejercicios III.2 Funciones multiplicativas III.2.1 Divisores y la función φ de Euler III.2.2 El número de divisores de un entero III.2.3 La función μ de Möbius Ejercicios IV. Raíces primitivas y logaritmos discretos Ejercicios IV.1 Raíces primitivas Ejercicios IV.1.1 Raíces primitivas para primos El exponente de U(Z/n) Ejercicios IV.1.2 Raíces primitivas para potencias de primos Raíces primitivas para potencias de 2 Ejercicios IV.1.3 Raíces primitivas en el caso general Resumen Ejercicios IV.2 Logaritmos discretos Ejercicios IV.3 El intercambio de claves de Diffie-Hellman IV.4 El criptosistema de ElG IV.4.1 Firmas digitales usando ElGamal Ejercicios V. Residuos cuadráticos V.1 Residuos cuadráticos y raíces primitivas módulo p V.1.1 ¿Cuándo es −1 un RC módulo p? V.1.2 ¿Cuándo es 2 un RC módulo p? Ejercicios V.2 La ley de reciprocidad cuadrática V.2.1 Congruencias cuadráticas en general V.2.2 Primos de la forma ak + b Ejercicios V.3 El símbolo de Jacobi Ejercicios V.4 El criptosistema de Rabin Ejercicios VI. Sumas de potencias VI.1 Ternas Pitagóricas VI.1.1 Una excursión por la geometría Ejercicios VI.2 La conjetura de Fermat Ejercicios VI.3 Sumas de dos cuadrados Ejercicios VI.4 Sumas de cuatro cuadrados VI.4.1 Sumas de tres cuadrados Ejercicios VI.4.2 Un poco de historia VII. La ecuación de Pell y aproximaciones diofantinas VII.1 La ecuación de Pell: un caso particular VII.1.1 El problema del ganado de Arquímedes VII.1.2 El caso particular de la ecuación de Pell Ejercicios VII.2 La ecuación de Pell: el caso general Ejercicios VII.3 Aproximación diofantina y la ecuación de Pell VII.3.1 La existencia de soluciones de la ecuación de Pell Ejercicios VIII. Números congruentes y curvas elípticas VIII.1 Números congruentes VIII.1.1 Puntos racionales en ciertas cúbicas Ejercicios VIII.2 Curvas elípticas VIII.2.1 La operación de grupo VIII.2.2 El teorema de Mordell VIII.2.3 Reducción módulo Ejercicios VIII.3 La función L de Hasse-Weil de una curva elíptica Bibliografía Índice analítico y onomástico