Kompendium der reellen Analysis - Grundlagen und Methoden für Physiker

Description

Dieses Buch stellt die für Physiker relevanten Begriffe und Methoden der Analysis übersichtlich zusammen. Es richtet sich an theoretisch interessierte Studierende ab dem dritten Bachelor-Semester, denen punktuell mathematische Grundlagen fehlen – etwa im weiteren Verlauf des Studiums (z. B. bei Veranstaltungen zu Elektrodynamik, Mechanik, Elementarteilchenphysik, …) oder im Rahmen von Abschlussarbeiten. Diese Studierenden finden in den kompakten, in sich geschlossenen Abschnitten des Buchs effiziente Hilfe. Für optimale Auffindbarkeit und Orientierung innerhalb des Buchs sorgen ein ausführliches Stichwortverzeichnis sowie einleitende Texte auf Kapitelebene: Letztere machen sowohl die jeweils notwendigen Voraussetzungen (z. B. die zum Verständnis notwendigen Begriffe) transparent und ermöglichen das Einordnen in den Kontext sowie das Herstellen von Querbezügen. Prof. Dr. Rainer Weissauer forscht und lehrt am Mathematischen Institut der Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg. Vorwort......Page 5 Inhaltsverzeichnis......Page 7 Leitfaden......Page 14 1.1 Übersicht......Page 15 1.2 Angeordnete Körper......Page 17 1.3 Die Euklidsche Norm......Page 20 1.4 Metrische Räume......Page 23 1.5 Folgen in metrischen Räumen......Page 24 1.6 Die geometrische Reihe......Page 27 1.7 Vollständige metrische Räume......Page 28 1.8 Der Banachsche Fixpunktsatz......Page 29 1.9 Quaderschachtelung......Page 31 1.10 Reelle Zahlen......Page 34 1.11 Infimum und Supremum......Page 36 1.12 Zusammenhang......Page 38 2.2 Stetigkeit......Page 40 2.3 Eigenschaften stetiger Funktionen......Page 43 2.4 Der Zwischenwertsatz......Page 44 2.5 Das ε-δ-Kriterium ......Page 45 2.6 Gleichmäßige Stetigkeit......Page 46 2.7 Reellwertige stetige Funktionen......Page 47 2.8 Gleichmäßige Konvergenz......Page 50 2.9 Vollständigkeit von C(X)......Page 51 2.10 Monotone Folgen stetiger Funktionen......Page 52 3.1 Übersicht......Page 55 3.2 Treppenfunktionen......Page 56 3.3 Gleichmäßige Approximation......Page 59 3.4 Das Euklidsche Integral......Page 60 3.6 Der Logarithmus......Page 62 3.7 Das mehrdimensionale Euklidsche Integral......Page 64 3.8 Abstrakte Integrale......Page 66 3.9 Monotone Hüllen......Page 68 4.1 Übersicht......Page 71 4.3 Das Landausymbol......Page 73 4.4 Differenzierbarkeit......Page 74 4.5 Die Jacobi Matrix......Page 77 4.6 Extremwerte......Page 78 4.7 Symmetrie der Hesse Matrix......Page 81 4.8 Lokale Maxima......Page 82 4.9 Der Hauptsatz......Page 84 4.10 Differentialgleichungen......Page 85 4.11 Stetig partiell differenzierbare Funktionen......Page 90 4.12 Der Umkehrsatz......Page 92 4.13 Substitutionsregel......Page 95 4.14 Differentialformen......Page 99 4.15 Beweis des Poincaré Lemmas......Page 104 4.16 Satz von Stokes für Quader......Page 106 4.17 Potenzreihen......Page 109 4.18 Das Matrix Exponential......Page 111 5.1 Übersicht......Page 114 5.2 Das Lebesgue Integral......Page 116 5.3 Der Verband L(X)......Page 118 5.4 Beppo Levi und dominierte Konvergenz......Page 120 5.5 Vertauschungssätze......Page 122 5.6 Nullmengen......Page 123 5.7 Messbare Funktionen......Page 125 6.1 Übersicht......Page 128 6.2 Grundbegriffe......Page 130 6.3 Felder......Page 132 6.4 Faltung......Page 134 6.5 Das Coulomb Feld......Page 136 6.6 Die Wellengleichung......Page 137 6.7 Ströme......Page 140 7.1 Übersicht......Page 143 7.2 Vektorfelder......Page 144 7.3 Harmonische Funktionen......Page 147 7.4 Harmonische Polynome......Page 149 7.5 Drehimpuls......Page 152 7.6 Orthogonale Gruppen......Page 154 7.7 Fourier-Graßmann Transformation......Page 155 7.8 Laplace Operatoren......Page 158 7.9 Maxwell Gleichungen......Page 159 7.10 Fundamentallösungen......Page 162 8.1 Übersicht......Page 164 8.2 Vorbemerkung......Page 165 8.3 L2-Räume......Page 168 8.4 Satz von Fischer-Riesz......Page 169 8.5 Der Folgenraum L2(Z)......Page 170 8.6 Orthonormalbasen......Page 171 8.7 Fourier Reihen......Page 172 8.8 Stone-Weierstraß......Page 175 8.9 Fourier Transformation......Page 176 8.10 Der harmonische Oszillator......Page 182 9.1 Übersicht......Page 185 9.2 Karten......Page 187 9.3 Wegekomponenten......Page 189 9.4 Formen auf Mannigfaltigkeiten......Page 191 9.5 Der Satz von Stokes......Page 193 9.6 Hyperflächen im Rn......Page 195 9.7 Standardintegral auf der Kugeloberfläche......Page 197 9.8 Zonal sphärische Funktionen......Page 201 9.9 Greensche Formel......Page 202 9.10 Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten......Page 203 10.1 Übersicht......Page 206 10.2 Der Kern Zℓ(x, ξ) ......Page 207 10.3 Der Poisson Kern......Page 208 10.4 Orthogonalität......Page 210 10.5 Harmonische Funktionen sind analytisch......Page 213 10.6 Entwicklung auf Kugelschalen......Page 214 10.7 Die Potentialgleichung......Page 217 11.1 Übersicht......Page 220 11.2 Die Lie Ableitung......Page 222 11.3 Poisson Klammer......Page 225 11.4 Variationsrechnung......Page 227 11.5 Satz von Darboux......Page 230 11.6 Kanonische Transformationen......Page 232 12.1 Übersicht......Page 234 12.2 Entropie......Page 235 12.3 Kanonische Verteilung......Page 236 12.4 Kombinatorik......Page 237 12.5 Thermodynamik......Page 238 12.6 Integrierende Faktoren......Page 239 13.1 Übersicht......Page 241 13.2 Der Begriff der Metrik......Page 242 13.3 Globale Metriken......Page 243 13.4 Kurvenlänge und Geodäten......Page 244 13.5 Zusammenhänge......Page 246 13.6 Levi-Civita Zusammenhang......Page 247 13.7 Das Gauß Lemma......Page 250 13.8 Lokale Minimalkurven......Page 252 13.9 Konstruktion von Normalkoordinaten......Page 256 13.10 Lokale Geodäten......Page 258 13.11 Metrische Konvexität......Page 260 13.12 Vollständigkeit......Page 264 13.13 Der Satz von Hopf-Rinow......Page 265 14.1 Übersicht......Page 269 14.2 Kohomologiegruppen......Page 271 14.3 Ströme......Page 273 14.4 Mayer-Vietoris Sequenzen......Page 274 14.5 Kohomologie von Sphären......Page 277 14.6 Duales Poincaré Lemma......Page 279 14.7 Poincaré Dualität......Page 281 14.8 Funktorialität......Page 284 14.9 Die Fundamentalgruppe......Page 285 14.10 Harmonische Formen......Page 288 15.1 Übersicht......Page 292 15.2 Linksinvariante Vektorfelder auf G......Page 294 15.3 Das Haar Maß auf G......Page 295 15.4 Das Lie Exponential......Page 296 15.5 Die Wegekomponente G0......Page 298 15.6 Lie Algebren......Page 299 15.7 Funktorialität......Page 300 15.8 Abgeschlossene Untergruppen......Page 302 15.9 Quotienten......Page 305 15.10 Überlagerungen......Page 308 15.11 Abelsche Liegruppen......Page 313 15.12 Tori......Page 314 15.13 Einige klassische Liegruppen......Page 316 16.1 Übersicht......Page 324 16.2 Darstellungen......Page 326 16.3 Charaktere......Page 329 16.4 Der Koeffizientenring A(G) von G......Page 331 16.5 Faltungsalgebra......Page 333 16.6 Satz von Peter-Weyl......Page 334 16.7 Gewichtegitter......Page 335 16.8 Darstellungen der Lie Algebra L(G)......Page 337 16.9 Biinvariante Metriken......Page 338 16.10 Maximale Tori kompakter Liegruppen......Page 340 16.11 Zentralisatoren......Page 342 16.12 Komplexifizierung......Page 343 16.13 Eigenräume, Gewichte und Wurzeln......Page 345 16.14 Darstellungen von SU(2)......Page 346 16.15 Kompakte Liegruppen vom Rang 1......Page 348 16.16 Die Weyl Gruppe WG......Page 350 16.17 Die Integrationsformel von Weyl......Page 352 16.18 Die Klassifikation irreduzibler Darstellungen......Page 354 16.19 Klassifikation der kompakten Liegruppen......Page 358 16.20 Fundamentalgruppen kompakter Liegruppen......Page 364 16.21 Darstellungen von U(n)......Page 369 16.22 Fundamentaldarstellungen von U(n)......Page 376 17.1 Übersicht......Page 378 17.2 Spinorgruppen......Page 379 17.3 Spindarstellungen......Page 385 17.4 γ-Matrizen ......Page 386 17.5 Spinoren im Minkowski Fall......Page 388 17.6 Oszillatordarstellung......Page 396 17.7 Heisenberg Gruppe......Page 398 17.8 Konforme Lie Algebren......Page 400 17.9 Konforme Kompaktifizierungen......Page 401 17.10 Lie Superalgebren......Page 406 17.11 Superkonforme Kelvin Inversionen......Page 411 17.12 Der Minkowski Fall......Page 413 17.13 Reelle Strukturen......Page 419 17.14 Inversionen im klassischen Fall......Page 422 17.15 Der Minkowski Fall (klassisch)......Page 424 18.1 Kurvenintegrale......Page 431 18.2 Homotopie......Page 433 18.3 Holomorphe Funktionen......Page 438 18.4 Der Residuensatz......Page 440 18.5 Taylor Koeffizienten......Page 442 18.6 Reihen......Page 443 18.7 Kompaktheit metrischer Räume......Page 445 18.8 Partitionen der Eins......Page 447 18.9 Implizite Funktionen......Page 450 18.10 Kelvin Transformation......Page 452 18.11 Kugelvolumina......Page 453 18.12 Funktionenfolgen auf Quadern......Page 456 18.13 Konvexe Funktionen......Page 457 18.14 Wärmeleitungskern......Page 459 18.15 Supermannigfaltigkeiten......Page 460 18.16 Der Spektralsatz......Page 462 18.17 Orthoprojektion in Hilberträumen......Page 464 18.18 Diagonalisierungssätze......Page 466 18.20 Tensorprodukte......Page 469 18.21 Abstrakte Wurzelsysteme......Page 471 18.22 Coxeter Graphen......Page 476 19 Planck Einheiten......Page 478 20 Symbolverzeichnis......Page 484 Index......Page 489