Zur Modelltheorie von Moduln

Description

Ziel dieser Arbeit Ist es, einen vollständigen und im wesentlichen modelltheoretischen Beweis für die Entscheidbarkeit der Modultheorie über zahmen Köcheralgebren zu geben; nahezu alle hier gewonnenen Ergebnisse haben in der einen oder anderen Form mit diesem Beweis zu tun, bereiten ihn vor, oder sind durch mit ihm zusammenhängende Untersuchungen gefunden worden. Dieser Entscheidbarkeitssatz verallgemeinert das entsprechende Resultat von Baur für Quadrupel. Der Beweis für den allgemeineren Fall der zahmen Köcher unterscheidet sich allerdings erheblich von Baurs Originalbeweis: Mike Prest hat gezeigt, daß die Modultheorie über wilden Köcheralgebren unentscheidbar ist und den hier gezeigten Satz bereits vermutet. Er hat vorgeschlagen, zunächst das Ziegler-Spektrum zahmer Köcheralgebren zu beschreiben und dann mit einem Satz von Ziegler auf die Entscheidbarkeit zu schließen. Erstaunlicherweise ist unser Beweis für die Entscheidbarkeit aber viel einfacher als von Prest angenommen und benutzt lediglich die genaue Kenntnis der endlichdimensionalen Unzerlegbaren und den hier ein-geführten zentralen Begriff der pp-Aquivalenz. Tiefere algebraische Ergebnisse werden wir nicht verwenden; stattdessen argumentieren wir konsequent modelltheoretisch. Es sei hier angemerkt, daß damit nachgewiesen ist, daß für Köcheralgebren modelltheoretische und algebraische Komplexität übereinstimmen: Die Modultheorie über einer solchen Algebra ist genau dann entscheidbar, wenn sie zahm oder von endlichem Darstellungstyp ist; im wilden Fall ist sie unentscheidbar.