Общее уравнение Эйлера—Пуассона—Дарбу и гиперболические B-потенциалы

Description

В работе развивается теория гиперболических уравненийв частных производных с операторами Бесселя, а также конструируются и обращаются гиперболические потенциалы, порожденные многомерным обобщенным сдвигом. В первойг лаве приведены необходимые обозначения, определения, вспомогательные факты и утверждения. Во второй главе изучены некоторые весовые обобщенные функции, связанные с квадратичной формой, которые в дальнейшем применяются для построения дробных степеней гиперболических операторов, а также решений гиперболических уравнений с операторами Бесселя. Объектом исследования третьей главы являются гиперболические потенциалы, порожденные многомерным обобщенным сдвигом, реализующие отрицательные вещественные степени сингулярного волнового оператора, т. е. волнового оператора, где вместо вторых производных действует оператор Бесселя. Исследуются вопросы ограниченности такого оператора, его свойства, а также строится обратный к нему оператор. Кроме того, в этой главе изучен гиперболический B-потенциал Рисса. В четвертой главе рассмотрены различные методы решения общего уравнения Эйлера—Пуассона—Дарбу. Получены решения задач Коши для однородного и неоднородного уравнений указанного типа. В заключении приведены сведения об общих методах решения задач для произвольных сингулярных операторов. ОГЛАВЛЕНИЕ Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Глава 1. Классы функций иоператоры преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 1. Специальные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 1.1. Гамма-функция, бета-функция, символ Похгаммера и функция ошибок . . . . . . . 163 1.2. Функции Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 1.3. Функции гипергеометрического типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 2. Классы функций ,оператор Пуассона и преобразование Ханкеля . . . . . . . . . . . . . 167 2.1. Пространства Cm ev, Lγp и Sev. Весовые обобщенные функции . . . . . . . . . . . . . 167 2.2. Оператор преобразования Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 2.3. Преобразование Ханкеля и обобщение пространства Лизоркина—Самко . . . . . . 173 2.4. Дробные интегралы и производные Римана—Лиувилля и Лиувилля . . . . . . . . . 175 3. Обобщенный сдвиг и весовое сферическое среднее . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 3.1. Обобщенныйс двиг и обобщенная свертка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 3.2. Интегралы по части сферы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 3.3. Весовое сферическое среднее . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Глава 2. Весовые обобщенные функции, связанные с квадратичными формами . . . . . . . 193 4. Весовая обобщенная функции, сосредоточенная на части конуса . . . . . . . . . . . . . 193 4.1. B-ультрагиперболический оператор и квадратичные формы . . . . . . . . . . . . . . 193 4.2. Весовая обобщенная функции, сосредоточенная на части конуса . . . . . . . . . . . 194 4.3. Представления производных весовойобоб щеннойф ункции δγ(P) . . . . . . . . . . 196 5. Весовые обобщенные функции, реализующие степени квадратичных форм . . . . . . . . 200 5.1. Весовые обобщенные функции Pλ γ,± . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 5.2. Весовые обобщенные функции Pλ γ и (P ± i0)λγ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 6. Другие весовые обобщенные функции, связанные с квадратичнойфо рмой . . . . . . . . 211 6.1. Функции (w2 − |x|2)λ +,γ и (c2 + P ± i0)λγ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 6.2. Общие весовые обобщенные функции, связанные с квадратичнойфо рмой . . . . . 212 7. Преобразование Ханкеля весовых обобщенных функций, связанных с квадратичной формой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 7.1. Преобразование Ханкеля функций Pλ γ , (P ± i0)λγ и Pλ γ,± . . . . . . . . . . . . . . . 213 7.2. Преобразование Ханкеля функций (w2 − |x|2)λ +,γ и (c2 + P ± i0)λγ . . . . . . . . . . 215 Глава 3. Гиперболические B-потенциалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 8. Ограниченность гиперболического B-потенциала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 8.1. Краткая история теории потенциалов как дробных степеней операторов . . . . . . . 219 8.2. Определения гиперболических B-потенциалов и их абсолютная сходимость . . . . 222 8.3. Ограниченность, полугрупповые свойства гиперболического B-потенциала . . . . . 224 9. Свойства гиперболических B-потенциалов и примеры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 9.1. Полугрупповые свойства гиперболических B-потенциалов . . . . . . . . . . . . . . 230 9.2. Примеры гиперболических B-потенциалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 10. Обращение гиперболических B-потенциалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 10.1.Метод аппроксимативных обратных операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 10.2.Общее ядро Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 10.3.Представление ядра ∓gα ε,δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 10.4. Теоремы об обращении гиперболического B-потенциала Рисса . . . . . . . . . . . . 250 11. Гиперболический B-потенциал Рисса и его аналитическое продолжение . . . . . . . . . 252 11.1.Замена переменных в пространстве Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 11.2.Тождественный оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 11.3. Аналитическое продолжение гиперболического B-потенциала Рисса Iα γ . . . . . . 261 11.4.Примеры гиперболических B-потенциалов Рисса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 Глава 4. Методы решения гиперболических уравнений соператором Бесселя . . . . . . . . 270 12. B-ультрагиперболическое уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 12.1. Фундаментальное решение итерированного B-ультрагиперболического уравнения . 273 12.2.B-ультрагиперболическое уравнение и обобщение теоремы Асгейрссона . . . . . . 274 13. Общее уравнение Эй лера—Пуассона—Дарбу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 13.1.Метод операторов преобразования решения задачи Коши для общего уравнения Эй лера—Пуассона—Дарбу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 13.2.Преобразования Ханкеля и задача Коши для общего уравнения Эйлера— Пуассона—Дарбу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 13.3.Метод спуска для общего уравнения Эй лера—Пуассона—Дарбу . . . . . . . . . . . 288 13.4.Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 14. Уравнение Эй лера—Пуассона—Дарбу со спектральным параметром . . . . . . . . . . . . 298 14.1. Решение задачи Коши для уравнения Эйлера—Пуассона—Дарбу со спектральным параметром применением преобразования Ханкеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 14.2. Классическое решение уравнения Эйлера—Пуассона—Дарбу со спектральным па- раметром . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 14.3.Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 15. Метод потенциалов Рисса решения неоднородных уравненийтип а Эйлера—Пуассона— Дарбу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 15.1.Общее неоднородное уравнение Эй лера—Пуассона—Дарбу . . . . . . . . . . . . . . 309 15.2.Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 Список литературы . . .