Лекции по дифференциальной геометрии

Description

Изложены основы дифференциальной геометрии кривых и поверхностей, а также несколько дополнительных разделов, посвященных теории групп Ли и элементам теории представления. Книга возникла из курса лекций, прочитанных автором на механико-математическом факультете Новосибирского государственного университета. Несмотря на компактность книги, все вопросы разобраны достаточно доступно, имеются задачи для самостоятельного решения. Может служить учебным пособием для студентов механико-математических и физических специальностей университетов. Предисловие ко второму изданию ......Page 6 Предисловие ......Page 7 ЧАСТЬ I. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ......Page 10 § 1.1. Основные понятия теории кривых ......Page 12 § 1.2. Кривые на плоскости ......Page 15 § 1.3. Кривые в трехмерном пространстве ......Page 18 § 1.4. Группа ортогональных преобразований ......Page 21 § 2.1. Метрики на регулярных поверхностях ......Page 27 § 2.2. Кривизна линии на поверхности ......Page 30 § 2.3. Гауссова кривизна ......Page 33 § 2.4. Деривационные уравнения и теорема Бонне ......Page 36 § 2.5. Теорема Гаусса ......Page 41 § 2.6. Ковариантное дифференцирование и геодезические ......Page 42 § 2.7. Уравнения Эйлера-Л агранжа ......Page 48 § 2.8. Формула Гаусса-Бонне ......Page 54 § 2.9. Минимальные поверхности ......Page 62 ЧАСТЬ II. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ ......Page 66 § 3.1. Топологические пространства ......Page 68 § 3.2. Гладкие многообразия и отображения ......Page 71 § 3.3. Тензоры ......Page 80 § 3.4. Действие отображений на тензоры ......Page 86 § 3.5. Вложение гладких многообразий в евклидовы пространства......Page 90 § 4.1. Метрический тензор ......Page 93 § 4.2. Аффинная связность и ковариантное дифференцирование......Page 94 § 4.3. Римановы связности ......Page 100 § 4.4. Кривизна ......Page 102 § 4.5. Геодезические ......Page 110 § 5.1. Плоскость Лобачевского ......Page 117 § 5.2. Псевдоевклидовы пространства и их приложения в физике ......Page 124 ЧАСТЬ III. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ......Page 130 § 6.1. Конформная параметризация поверхности ......Page 132 § 6.2. Теория поверхностей в терминах конформного параметра......Page 137 § 6.3. Представление Вейерштрасса ......Page 142 § 7.1. Линейные группы Ли ......Page 149 § 7.2. Алгебры Ли ......Page 157 § 7.3. Геометрия простейших линейных групп ......Page 163 § 8.1. Основные понятия теории представлений ......Page 170 § 8.2. Представления конечных групп ......Page 175 § 8.3. О представлениях групп Ли ......Page 184 § 9.1. Скобка Пуассона и уравнения Гамильтона ......Page 192 § 9.2. Примеры пуассоновых многообразий. Лагранжев формализм ......Page 202 § 9.3. Теоремы Дарбу и Лиувилля ......Page 211 § 9.4. Вариационный принцип Гамильтона и расширенное фазовое пространство ......Page 219 § 9.5. Понижение порядка системы, симплектическая редукция......Page 223 § 9.6. Уравнения Эйлера и уравнения движения твердого тела......Page 235 § 9.7. Интегрируемые гамильтоновы системы ......Page 239 Список литературы ......Page 250 Литература ......Page 251 Предметный указатель ......Page 253