Fibonacci and Lucas Numbers with Applications. Volume One [2nd ed.]

Description

Contents......Page 3 Symbols......Page 9 Preface......Page 11 Leonardo Fibonacci......Page 17 FIBONACCI’S RABBITS......Page 21 FIBONACCI NUMBERS......Page 22 RECURSIVE DEFINITION......Page 24 A UBIQUITOUS FIBONACCI NUMBER AND ITS LUCAS COMPANION......Page 26 FIBONACCI AND LUCAS PRIMES......Page 28 FIBONACCI AND LUCAS NUMBERS......Page 29 FIBONACCI AND LUCAS TRIANGULAR NUMBERS......Page 30 FIBONACCI AND THE BEASTLY NUMBER......Page 31 ENDS OF FIBONACCI AND LUCAS NUMBERS......Page 32 MATHEMATICAL TOURIST ATTRACTIONS......Page 33 EXERCISES 2......Page 34 FIBONACCI AND THE EARTH......Page 37 FIBONACCI, FLOWERS, AND TREES......Page 38 FIBONACCI AND TREES......Page 39 FIBONACCI AND SUNFLOWERS......Page 42 FIBONACCI, PINECONES, ARTICHOKES, AND SUNFLOWERS......Page 43 FIBONACCI AND BEES......Page 46 FIBONACCI, LUCAS, AND SUBSETS......Page 48 FIBONACCI AND SEWAGE TREATMENT......Page 49 FIBONACCI AND ATOMS......Page 51 FIBONACCI AND THE BALMER SERIES......Page 52 FIBONACCI AND REFLECTIONS......Page 53 PARAFFINS AND CYCLOPARAFFINS......Page 55 CYCLOPARAFFINS......Page 57 FIBONACCI AND MUSIC......Page 58 FIBONACCI AND POETRY......Page 60 FIBONACCI AND NEUROPHYSIOLOGY......Page 61 ELECTRICAL NETWORKS......Page 62 EXERCISES 3......Page 68 FIBONACCI OCCURRENCES......Page 70 FIBONACCI AND COMPOSITIONS......Page 76 COMPOSITIONS WITH ODD SUMMANDS......Page 77 COMPOSITIONS WITH SUMMANDS GREATER THAN 1......Page 78 FIBONACCI AND PERMUTATIONS......Page 79 FIBONACCI AND GENERATING SETS......Page 81 FIBONACCI AND GRAPH THEORY......Page 82 INDEPENDENT SUBSET OF THE VERTEX SET......Page 83 FIBONACCI WALKS......Page 84 FIBONACCI TREES......Page 86 FIBONACCI TREES......Page 87 PARTITIONS OF......Page 89 A GRAPH-THEORETIC INTERPRETATION......Page 90 FIBONACCI AND THE STOCK MARKET......Page 91 EXERCISES 4......Page 94 FIBONACCI AND LUCAS IDENTITIES......Page 96 ALTERNATE METHOD BY PMI......Page 97 FAN GRAPH......Page 99 BINET’S FORMULAS......Page 103 SCHUB’S IDENTITY......Page 111 CYCLIC PERMUTATIONS AND LUCAS NUMBERS......Page 112 GRAPH-THEORETIC BRIDGES......Page 114 COMPOSITIONS REVISITED......Page 115 NUMBER OF DIGITS IN......Page 116 THEOREM 5.8 REVISITED......Page 117 FIBONACCI AND LUCAS NUMBERS WITH NEGATIVE SUBSCRIPTS......Page 118 CATALAN’S IDENTITY......Page 121 MELHAM’S IDENTITY......Page 122 ADDITIONAL FIBONACCI AND LUCAS IDENTITIES......Page 123 FERMAT AND FIBONACCI......Page 128 FIBONACCI AND......Page 130 EXERCISES 5......Page 131 GEOMETRIC ILLUSTRATIONS......Page 136 CANDIDO’S IDENTITY......Page 141 FIBONACCI TESSELLATIONS......Page 142 LUCAS TESSELLATIONS......Page 143 CASSINI-BASED PARADOXES......Page 144 LANGMAN’S PARADOX......Page 149 CURRY’S PARADOX......Page 150 EXERCISES 6......Page 151 GIBONACCI NUMBERS......Page 152 GIBONACCI NUMBERS AND BEES......Page 153 MELHAM’S IDENTITY REVISITED......Page 155 GERMAIN’S IDENTITY......Page 158 EXERCISES 7......Page 159 NEW EXPLICIT FORMULAS......Page 162 ADDITIONAL FORMULAS......Page 165 LUCAS COUNTERPARTS......Page 168 EXERCISES 8......Page 173 THE EUCLIDEAN ALGORITHM......Page 176 THE EUCLIDEAN ALGORITHM......Page 178 FORMULA (5.5) REVISITED......Page 180 LAMÉ’S THEOREM......Page 182 EXERCISES 9......Page 184 FIBONACCI DIVISIBILITY......Page 185 AN INTERESTING BYPRODUCT......Page 190 FIBONACCI AND LUCAS RATIOS......Page 191 ALTERED FIBONACCI SEQUENCE......Page 196 EXERCISES 10......Page 198 BINOMIAL COEFFICIENTS......Page 202 PASCAL’S TRIANGLE......Page 204 FIBONACCI NUMBERS AND PASCAL’S TRIANGLE......Page 205 ANOTHER EXPLICIT FORMULA FOR......Page 209 CATALAN’S FORMULA......Page 210 ADDITIONAL IDENTITIES......Page 211 FIBONACCI PATHS OF A ROOK ON A CHESSBOARD......Page 213 EXERCISES 11......Page 215 SUMS OF LIKE-POWERS......Page 218 AN ALTERNATE FORMULA FOR......Page 221 DIFFERENCES OF LIKE-POWERS......Page 222 CATALAN’S FORMULA REVISITED......Page 224 A LUCAS TRIANGLE......Page 225 A RECURSIVE DEFINITION FOR......Page 226 POWERS OF LUCAS NUMBERS......Page 230 VARIANTS OF PASCAL’S TRIANGLE......Page 231 EXERCISES 12......Page 237 LHRWCCs......Page 240 A FEW NOTES......Page 242 EXAMPLE 5.3 REVISITED......Page 243 GENERATING FUNCTIONS......Page 244 ADDITION AND MULTIPLICATION OF GENERATING FUNCTIONS......Page 245 PARTIAL FRACTION DECOMPOSITION......Page 246 PARTIAL FRACTION DECOMPOSITION RULE......Page 247 A PASCAL LINK......Page 253 A GENERATING FUNCTION FOR......Page 255 SUMMATION FORMULA (5.1) REVISITED......Page 256 A LIST OF GENERATING FUNCTIONS......Page 257 IDENTITIES USING GENERATING FUNCTIONS......Page 259 COMPOSITIONS REVISITED......Page 260 EXPONENTIAL GENERATING FUNCTIONS......Page 261 HYBRID IDENTITIES......Page 263 IDENTITIES USING THE DIFFERENTIAL OPERATOR......Page 264 EXERCISES 13......Page 265 COMBINATORIAL MODELS I......Page 270 A FIBONACCI TILING MODEL......Page 271 A CIRCULAR TILING MODEL......Page 276 PATH GRAPHS REVISITED......Page 281 CYCLE GRAPHS REVISITED......Page 284 TADPOLE GRAPHS......Page 286 TADPOLE TRIANGLE......Page 289 ROW SUMS......Page 290 EXERCISES 14......Page 291 HOSOYA’S TRIANGLE......Page 293 RECURSIVE DEFINITION......Page 294 MAGIC RHOMBUS......Page 295 ADDITIONAL FORMULAS......Page 296 EXERCISES 15......Page 300 RATIOS OF CONSECUTIVE FIBONACCI NUMBERS......Page 301 THE GOLDEN RATIO......Page 303 MEAN PROPORTIONAL......Page 305 RULER AND COMPASS CONSTRUCTION......Page 306 EULER’S CONSTRUCTION......Page 307 GOLDEN RATIO AS NESTED RADICALS......Page 308 NEWTON’S APPROXIMATION METHOD......Page 309 THE UBIQUITOUS GOLDEN RATIO......Page 311 HUMAN BODY AND THE GOLDEN RATIO......Page 312 ANCIENT FLOOR MOSAICS AND THE GOLDEN RATIO......Page 314 GOLDEN RATIO IN AN ELECTRICAL NETWORK......Page 315 GOLDEN RATIO IN ELECTROSTATICS......Page 316 GOLDEN RATIO BY ORIGAMI......Page 317 DIFFERENTIAL EQUATIONS......Page 322 GATTEI’S DISCOVERY OF THE GOLDEN RATIO......Page 323 GOLDEN RATIO AND SNOW PLOWING......Page 324 GOLDEN RATIO IN GEOMETRY......Page 325 GOLDEN RATIO AND CENTROIDS OF CIRCLES......Page 326 MUTUALLY TOUCHING CIRCLES......Page 327 EXERCISES 16......Page 329 GOLDEN TRIANGLE......Page 334 GOLDEN RECTANGLES......Page 339 THE PARTHENON......Page 343 HUMAN BODY AND THE GOLDEN RECTANGLE......Page 346 GOLDEN RECTANGLE AND THE CLOCK......Page 348 STRAIGHTEDGE AND COMPASS CONSTRUCTION......Page 350 RECIPROCAL OF A RECTANGLE......Page 351 LOGARITHMIC SPIRAL......Page 352 GOLDEN RECTANGLE REVISITED......Page 355 SUPERGOLDEN RECTANGLE......Page 356 EXERCISES 17......Page 359 THE GOLDEN RATIO AND PLANE GEOMETRY......Page 362 INTERESTING BYPRODUCTS......Page 363 RIGHT TRIANGLES AND THE GOLDEN RATIO......Page 368 THE CROSS OF LORRAINE......Page 369 LOCATING......Page 370 FIBONACCI MEETS APOLLONIUS......Page 371 A FIBONACCI SPIRAL......Page 372 REGULAR PENTAGONS......Page 373 AN ALTERNATE PROOF THAT COS......Page 375 TRIGONOMETRIC FORMULAS FOR......Page 378 THE PENTAGRAM......Page 380 REGULAR DECAGON......Page 382 FIFTH ROOTS OF UNITY......Page 383 A PENTAGONAL ARCH......Page 386 REGULAR ICOSAHEDRON AND DODECAHEDRON......Page 387 GOLDEN ELLIPSE......Page 389 GOLDEN HYPERBOLA......Page 391 EXERCISES 18......Page 392 FINITE CONTINUED FRACTIONS......Page 396 FLOOR TILINGS REVISITED......Page 398 CONVERGENTS OF A CONTINUED FRACTION......Page 399 RECURSIVE DEFINITION OF......Page 400 INFINITE CONTINUED FRACTIONS......Page 401 AN INFINITE CONTINUED FRACTION FOR......Page 403 EXERCISES 19......Page 404 Q-MATRIX......Page 406 FORMULA (5.9) REVISITED......Page 407 FIBONACCI ADDITION FORMULA......Page 408 M-MATRIX......Page 411 A GENERALIZED......Page 412 EIGENVALUES OF......Page 414 SUMMATION FORMULA (5.1) REVISITED......Page 415 -MATRIX......Page 418 FIBONACCI AND LUCAS VECTORS......Page 419 INTRIGUING FIBONACCI MATRIX......Page 422 EXPLICIT FORMULAS FOR......Page 426 INFINITE-DIMENSIONAL LUCAS MATRIX......Page 427 EXPLICIT FORMULAS FOR......Page 432 INFINITE-DIMENSIONAL GIBONACCI MATRIX......Page 433 THE LAMBDA FUNCTION......Page 434 P-MATRIX......Page 435 EXERCISES 20......Page 437 A GRAPH-THEORETIC MODEL FOR FIBONACCI NUMBERS......Page 442 BYPRODUCTS OF THE COMBINATORIAL MODELS......Page 444 SUMMATION FORMULAS......Page 450 EXERCISES 21......Page 452 APPLICATION TO GRAPH THEORY......Page 453 ADDITIONAL BASIC GRAPH-THEORETIC FACTS......Page 455 THE WHEEL GRAPH......Page 457 THE SINGULARITY OF FIBONACCI MATRICES......Page 458 FIBONACCI & ANALYTIC GEOMETRY......Page 461 EXERCISES 22......Page 466 FIBONACCI NUMBERS ENDING IN ZERO......Page 470 ADDITIONAL CONGRUENCES......Page 471 LUCAS SQUARES......Page 472 FIBONACCI SQUARES......Page 473 GENERALIZED FIBONACCI CONGRUENCE......Page 475 FIBONACCI & LUCAS PERIODICITIES......Page 482 LUCAS SQUARES REVISITED......Page 483 PERIODICITIES MODULO 10......Page 485 EXERCISES 23......Page 489 A FIBONACCI SERIES......Page 493 A LUCAS SERIES......Page 495 FIBONACCI AND LUCAS SERIES REVISITED......Page 496 A FIBONACCI POWER SERIES......Page 499 GIBONACCI SERIES......Page 505 ADDITIONAL FIBONACCI SERIES......Page 507 SUMMATION FORMULAS......Page 510 EXERCISES 24......Page 511 WEIGHTED SUMS......Page 514 LUCAS COUNTERPARTS......Page 518 GAUTHIER’S DIFFERENTIAL METHOD......Page 521 EXERCISES 25......Page 527 FIBONOMETRY I......Page 529 GOLDEN RATIO AND INVERSE TRIGONOMETRIC FUNCTIONS......Page 530 GOLDEN TRIANGLE REVISITED......Page 531 GOLDEN WEAVES......Page 532 ADDITIONAL FIBONOMETRIC BRIDGES......Page 533 FIBONACCI AND LUCAS FACTORIZATIONS......Page 540 EXERCISES 26......Page 543 COMPLETENESS THEOREM......Page 545 EGYPTIAN ALGORITHM FOR MULTIPLICATION......Page 546 EXERCISES 27......Page 548 THE KNAPSACK PROBLEM......Page 549 FIBONACCI & LUCAS SUBSCRIPTS......Page 553 GIBONACCI SUBSCRIPTS......Page 556 RECURSIVE DEFINITIONS OF......Page 557 RECURSIVE DEFINITION OF......Page 558 EXERCISES 29......Page 560 FIBONACCI & THE COMPLEX PLANE......Page 561 GAUSSIAN FIBONACCI AND LUCAS NUMBERS......Page 562 TELESCOPING FIBONACCI SUM......Page 565 ZEROS OF......Page 567 IDENTITIES SATISFIED BY......Page 568 TAYLOR EXPANSIONS OF......Page 569 EXERCISES 30......Page 570 SUMMATION AND PRODUCT NOTATIONS......Page 572 THEPRODUCTNOTATION......Page 573 WELL-ORDERING PRINCIPLE (WOP)......Page 574 MATHEMATICAL INDUCTION......Page 575 RECURSIVE DEFINITION OF A FUNCTION......Page 576 DIV AND MOD OPERATORS......Page 577 PIGEONHOLE PRINCIPLE......Page 578 UNION AND INTERSECTION......Page 579 RELATIVELY PRIME INTEGERS......Page 580 FUNDAMENTAL THEOREM OF ARITHMETIC......Page 581 SYMBOLIC DEFINITION OF LCM......Page 582 EQUALITY OF MATRICES......Page 583 MATRIX MULTIPLICATION......Page 584 DETERMINANT OF A SQUARE MATRIX......Page 585 CONGRUENCE MODULO......Page 586 First 100 Fibonacci & Lucas Numbers......Page 589 First 100 Fibonacci NUMBERS & their PRIME FACTORIZATIONS......Page 593 First 100 Lucas NUMBERS & their PRIME FACTORIZATIONS......Page 597 Abbreviations......Page 601 Refs......Page 602 EXERCISES 2......Page 621 EXERCISES 5......Page 622 EXERCISES 7......Page 626 EXERCISES 8......Page 630 EXERCISES 10......Page 631 EXERCISES 11......Page 633 EXERCISES 12......Page 635 EXERCISES 13......Page 637 EXERCISES 14......Page 641 EXERCISES 15......Page 643 EXERCISES 16......Page 644 EXERCISES 17......Page 646 EXERCISES 18......Page 648 EXERCISES 19......Page 650 EXERCISES 20......Page 651 EXERCISES 21......Page 654 EXERCISES 22......Page 655 EXERCISES 23......Page 657 Case 2......Page 658 EXERCISES 24......Page 660 EXERCISES 25......Page 662 EXERCISES 26......Page 665 EXERCISES 27......Page 666 EXERCISES 29......Page 667 EXERCISES 30......Page 668 Index......Page 670