Algebra: Geeignet zum Selbststudium oder für Online-Vorlesungen

Description

Dieses Buch beinhaltet die Grundlagen der Algebra.  Neben den elementaren algebraischen Strukturen wie Gruppen, Ringe und Körper wird insbesondere die Galoistheorie zusammen mit ihren Anwendungen auf die Kreisteilungskörper, die endlichen Körper oder die Frage nach der Auflösung von Polynomgleichungen entwickelt. Besonderes Augenmerk wird dabei auf die natürliche Entwicklung der Inhalte gelegt. Zahlreiche Zwischenerklärungen unterstützen diese Grundidee, zeigen Verbindungen auf und helfen, die zu Grunde liegenden Konzepte besser zu durchdringen.  Das Buch eignet sich deshalb im Besonderen, die Algebra im Selbststudium oder begleitend zu Online-Vorlesungen zu erlernen. Vorwort Inhaltsverzeichnis 1 Motivation und Voraussetzungen 1.1 Ziele 1.1.1 Algebraische Strukturen 1.1.2 Polynomgleichungen in einer Variablen 1.2 Voraussetzungen 2 Körpererweiterungen und algebraische Elemente 2.1 Körpererweiterungen 2.2 Zwischenkörper und algebraische Elemente 3 Gruppen 3.1 Allgemeine Definition und Folgerungen 3.2 Untergruppen und Gruppenhomomorphismen 4 Gruppenquotienten und Normalteiler 4.1 Äquivalenzrelationen 4.2 Gruppenquotienten 4.3 Der Satz von Lagrange 4.4 Normalteiler und Faktorgruppen 4.5 Der Homomorphiesatz für Gruppen 4.6 Endliche zyklische Gruppen 5 Ringe und Ideale 5.1 Kommutative Ringe mit Eins 5.2 Ringhomomorphismen 5.3 Einheiten und Nullteiler 5.4 Ideale, Faktorringe und der Homomorphiesatz 5.5 Primideale und maximale Ideale 5.6 Der chinesische Restsatz 5.7 Beispiele von Ringen in quadratischen Zahlkörpern 6 Euklidische Ringe, Hauptidealringe, Noethersche Ringe 6.1 Euklidische Ringe 6.2 Der euklidische Algorithmus 6.3 Noethersche Ringe 7 Faktorielle Ringe 7.1 Primelemente und irreduzible Elemente, faktorielle Ringe 7.2 Eigenschaften 8 Quotientenkörper für Integritätsbereiche 9 Irreduzible Polynome in faktoriellen Ringen 9.1 Inhalt von Polynomen 9.2 Reduktion modulo Primelement 9.3 Das Gauß Lemma 9.4 Anwendung der Reduktion mod p 10 Galoistheorie (I) – Satz A und seine Variante A' 10.1 Die wundersame Körperschaffung 10.2 Der Zerfällungskörper 10.3 Der Satz A und A' 10.4 Anwendung im Körperturm 10.5 Die Galoisgruppe 11 Intermezzo – explizites Beispiel X5-777X+7 12 Normale Körpererweiterungen 12.1 Algebraischer Abschluss 12.2 Fortsetzung von Körperhomomorphismen 12.3 Normale Erweiterungen 13 Separabilität 13.1 Motivation und Definition 13.2 Formale Ableitung 13.3 Charakteristik eines Körpers und Separabilität 13.4 Der Separabilitätsgrad 13.5 Der Satz vom primitiven Element 14 Galoistheorie (II) – der Hauptsatz 14.1 Der Hauptsatz – Statement 14.2 Ausblick auf eine Anwendung – Mitternachtsformel für alle Grade? 14.3 Beweis des Hauptsatzes 14.4 Beweis des Zusatzes 15 Kreisteilungskörper 15.1 Einheitswurzeln 15.2 Kreisteilungskörper und -polynome 16 Endliche Körper 16.1 Primkörper, endliche Körper und der Frobenius 16.2 Endliche Körper 17 Mehr Gruppentheorie – Gruppenoperationen und Sylow 17.1 Gruppenoperationen 17.2 Die Sylowsätze 17.3 Anwendungen der Sylowsätze und übliche Tricks 17.4 Beweis der Sylowsätze 18 Auflösbarkeit von Polynomgleichungen 18.1 Auflösbare Gruppen 18.2 Auflösung von Polynomgleichungen durch Radikale 18.3 Die allgemeine Gleichung n -ten Grades A Beweis der Existenz eines algebraischen Abschlusses B Tricks und Methoden, um Gruppen einer vorgegebenen Ordnung zu klassifizieren B.1 Standardargumente und Beispiele B.1.1 Anzahl der p -Sylowgruppen: B.1.2 Sylowgruppen als Normalteiler B.1.3 Sylowgruppen der Ordnung p B.1.4 Durchschnitt von Sylowgruppen B.1.5 Kommutierende Sylowgruppen I B.1.6 Kommutierende Sylowgruppen II B.1.7 Nicht-kommutierende Sylowgruppen B.2 Explizite Beispiele B.2.1 Gruppen der Ordnung 2021 B.2.2 Gruppen der Ordnung 2023 B.2.3 Gruppen der Ordnung 2022 Stichwortverzeichnis