Математика — абитуриенту

Description

Книга представляет собой наиболее полный курс элементарной математики для подготовки к ЕГЭ и вступительным экзаменам в вуз любого уровня сложности. Излагаются уникальные алгоритмы самоподготовки, успешно апробированные при подготовке к поступлению в ведущие вузы страны. Отдельная глава посвящена вариантам вступительных экзаменов по математике на все факультеты МГУ им. М. В. Ломоносова за последние 40 с лишним лет (1970-2016). Книга позволяет самостоятельно, предельно эффективно и в сжатые сроки повторить школьный курс математики. Особую ценность книга представляет для абитуриентов из отдаленных регионов страны, но она будет также полезна учащимся старших классов, учителям математики, руководителям кружков и факультативов, преподавателям подготовительных курсов. В настоящее издание включены написанные А. В. Семеновым методические рекомендации по подготовке к ЕГЭ с использованием данной книги. Содержание Как готовиться к экзамену по математике по книге «Математика — абитуриенту». А. В. Семенов 8 Предисловие к пятому изданию 16 Введение 16 Об этой к н и г е ...................................................................................................................... 19 1. Зачем нужен экзамен по математике? ................................................................. 21 2. Виды и уровни сложности экзаменов.................................................................... 23 3. Устройство сего опуса и инструкция по его применению............................... 24 Слова благодарности.......................................................................................................... 29 I. Справочник 1. Шпаргалки 33 1. Тригонометрия............................................................................................................. 33 2. Уравнения и неравенства с модулями и радикалами........................................ 37 3. Алгебраические системы уравнений и неравенств ............................................ 39 4. Текстовые задачи ....................................................................................................... 40 5. Прогрессии................................................................................................................... 43 6. Показательные, логарифмические и смешанные уравнения и неравенства.......................................................................................... 44 7. Производная и ее применения................................................................................. 48 9. Теоремы об общих и прямоугольных треугольниках........................................ 53 10. Подобие, площади, параллелограммы.................................................................... 54 11. Окружности и общие многоугольники................................................................. 57 12. Геометрические места точек и задачи на построение ..................................... 58 13. Свойства и расположение корней квадратного трехчлена............................... 60 14. Реализация простейших логических операций..................................................... 64 15. Нестандартные з а д а ч и ............................................................................................. 65 16. Основные формулы стереометрии........................................................................... 66 17. Векторы......................................................................................................................... 68 2. Некоторые доказательства 71 1. Формула корней квадратного уравнения.............................................................. 71 2. Тригонометрические формулы................................................................................. 72 4 Содержание 3. Метод интервалов...................................................................................................... 75 4. Простейшие случаи раскрывания радикалов........................................................ 76 5. Прогрессии................................................................................................................... 78 6. Переход от показательных и логарифмических уравнений к алгебраическим.................................................................................... 79 7. Общие теоремы о треугольниках........................................................................... 82 3. То, чего нет в школьной программе, а зн ат ь надо 84 1. Сравнение ч и с е л .......................................................................................................... 84 2. Извлечение квадратного корня «вручную»........................................................... 86 3. График дробно-линейной функции ........................................................................ 88 4. Деление «уголком» многочлена на многочлен ..................................................... 89 5. Метод неопределенных коэффициентов................................................................. 91 6. Теоремы Чеьы и Менелая.......................................................................................... 93 II. Подготовка к экзамену 1. Тригонометрия 99 Урок 1. Сведение к квадратным уравнениям........................................................... 99 Урок 2. Группировка и разложение на множители.....................................................109 УрокЗ. Сведение к однородным уравнениям.............................................................. 115 Урок 4. Преобразование сумм в произведения и произведений в с ум м ы .................................................................................... 121 Урок 5. Метод вспомогательного ар гум ен т а .............................................................. 127 Урок 6. Системы тригонометрических уравнений.....................................................132 Урок 7. Обратные тригонометрические функции .....................................................142 2. Простейшие уравнения и неравенства 148 Урок 8. Уравнения и неравенства с модулями.............................................................. 148 Урок 9. Рациональные уравнения и неравенства........................................................ 153 Урок 10. Уравнения и неравенства с радикалами ........................................................158 3. Алгебраические системы 165 Урок 11. Системы уравнений и неравенств, возникающие из текстовых з а д а ч ................................................................................ 165 Урок 12. Сложные системы уравнений ...........................................................................171 4. Текстовые задачи 178 Урок 13. Движение................................................................................................................178 Урок 14. Работа ....................................................................................................................189 Урок 15. С м е си ......................................................................................................................199 Урок 16. Оптимальный выбор и целые числа................................................................. 207 Урок 17. Прогрессии.............................................................................................................215 Содержание 5 5. Более сложные уравнения и неравенства 221 Урок 18. Показательные.......................................................................................................221 Урок 19. Логарифмические................................................................................................ 226 Урок 20. Смешанная тригонометрия.................................................................................235 Урок 21. Задачи, содержащие одновременно логарифмы, модули, радикалы и т.п........................................................................................243 6. Начала анализа 249 Урок 22. Вычисление производной....................................................................................249 Урок 23. Применения производной....................................................................................254 Урок 24. Касательная..........................................................................................................261 Урок 25. Плоские множества.............................................................................................266 7. Планиметрия 276 Урок 26. Общие треугольники.......................................................................................... 276 Урок 27. Прямоугольные треугольники.......................................................................... 286 Урок 28. Подобие...................................................................................................................291 Урок 29. Площади ................................................................................................................302 Урок 30. Параллелограммы и трапеции...........................................................................312 Урок 31. Окружности..........................................................................................................325 Урок 32. Общие ^4-угольники.......................................................................................... 334 Урок 33. Геометрические места точек..............................................................................343 Урок 34. Построения циркулем и линейкой.................................................................... 354 8. Задачи с параметрами 367 Урок 35. Квадратные уравнения и неравенства...........................................................367 Урок 36. Расположение корней квадратного трехчлена в зависимости от параметра..............................................................................375 Урок 37. Логические задачи. Необходимость и достаточность............................... 383 Урок 38. Более сложные логические задачи.................................................................... 397 9. Нестандартные задачи 410 Урок 39. Метод мажорант .............................................................................................411 Урок 40. Использование различных свойств функций ........................................... 418 Урок 41. Удачная подстановка или группировка .....................................................427 Урок 42. Геометрический подход .................................................................................436 10. Стереометрия 444 Урок 43. Тривиальные задачи .......................................................................................... 447 Урок 44. Вспомогательные задачи .................................................................................459 Урок 45. Т е тр а эд ры .............................................................................................................468 Урок 46. Параллелепипеды и призмы ..............................................................................484 Урок 47. Более сложные многогранники ....................................................................... 496 Урок 48. Сферы, цилиндры, конусы ..............................................................................513 Урок 49. Векторы ................................................................................................................530 Урок 50. Геометрические места точек ...........................................................................539 6 Содержание III. Варианты вступительных экзаменов в МГУ за 1970-2016 гг. 1970 год ............................................................................................................................... 552 1971 год ............................................................................................................................... 559 1972 год ............................................................................................................................... 566 1973 год ............................................................................................................................... 572 1974 год ............................................................................................................................... 579 1975 год ............................................................................................................................... 587 1976 год ............................................................................................................................... 595 1977 год ............................................................................................................................... 602 1978 год ............................................................................................................................... 610 1979 год ............................................................................................................................... 617 1980 год ............................................................................................................................... 623 1981 год ............................................................................................................................... 628 1982 год ............................................................................................................................... 635 1983 год ............................................................................................................................... 641 1984 год ............................................................................................................................... 648 . 1985 год ............................................................................................................................... 655 1986 год ............................................................................................................................... 661 1987 год ............................................................................................................................... 668 1988 год ............................................................................................................................... 674 1989 год ............................................................................................................................... 680 1990 год ............................................................................................................................... 685 1991 год ............................................................................................................................... 691 1992 год ............................................................................................................................... 696 1993 год ............................................................................................................................... 702 1994 год ............................................................................................................................... 707 1995 год ............................................................................................................................... 712 1996 год ............................................................................................................................... 718 1997 год ............................................................................................................................... 725 1998 год ............................................................................................................................... 732 1999 год ............................................................................................................................... 740 2000 год ............................................................................................................................... 748 2001 год ................................................................................................ 757 2002 год ............................................................................................................................... 767 2003 год ............................................................................................................................... 777 2004 год ............................................................................................................................... 787 2005 год ............................................................................................................................... 798 2006 год ............................................................................................................................... 808 2007 год .................................................................................................................. 820 2008 год ............................................................................................................................... 833 2009 год ............................................................................................................................... 838 2010 год ............................................................................................................................... 843 2011 год ............................................................................................................................... 849 2012 год ............................................................................................................................... 851 2013 год ................................................................................................................................853 2014 год ............................................................................................................................... 855 2015 год ................................................................................................... 857 2016 год ............................................................................................................................... 858 Содержание 7 Ответы, указания, решения 1. Домашние задания .......................................................................................................861 2. Ответы к вариантам за 1970-2016 годы .............................................................. 895 Список использованной литературы 939