Вероятностно-статистические методы декомпозиции волатильности хаотических процессов: [учебное пособие для вузов по направлению 010500 "Прикладная математика и информатика" и 010400 "Информационные технологии"]

Description

1. Теоретические основы негауссовых вероятностных моделей хаотических процессов 1.1. Случайные блуждания с дискретным временем 1.2. Однородные случайные блуждания с непрерывным временем 1.3. Неоднородные случайные блуждания, порождаемые обобщенными дважды стохастическими пуассоновскими процессами (обобщенными процессами Кокса) 1.3.1. Процессы Кокса: определения и примеры 1.3.2. Обобщенные процессы Кокса 1.3.3. Центральная предельная теорема для обобщенных процессов Кокса 1.3.4. Сходимость распределений обобщенных процессов Кокса к устойчивым законам 1.3.5. Оценки точности аппроксимации распределений обобщенных процессов Кокса масштабными смесями нормальных законов 1.3.6. Предельные теоремы для экстремумов обобщенных дважды стохастических пуассоновских процессов с нулевым средним 1.3.7. Оценки скорости сходимости распределений экстремумов обобщенных процессов Кокса к масштабным смесям распределения максимума винеровского процесса 1.3.8. Закон больших чисел для обобщенных процессов Кокса с ненулевым средним 1.3.9. Центральная предельная теорема для обобщенных процессов Кокса с ненулевым средним 1.3.10. Оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме для обобщенных процессов Кокса с ненулевым средним 1.3.11. Случай управляющих процессов с бесконечной дисперсией 2. Моделирование распределений приращений финансовых индексов смесями нормальных законов 2.1. Неоднородность операционного времени и нормальные смеси 2.2. Неоднородный дискретный стохастический хаос и процессы Кокса 2.3. Островершинность масштабных смесей нормальных законов 2.4. Случай элементарных приращений с ненулевыми средними 2.5. Модели в рамках асимптотической схемы серий 2.6. От одномерных смешанных нормальных распределений к процессам Леви со случайным временем 2.6.1. Предварительные сведения. Процессы Леви. Пространство Скорохода 2.6.2. Функциональные предельные теоремы для обобщенных процессов Кокса 2.6.3. Примеры предельных процессов 2.7. Модели смешивающих законов, основанные на распределениях размеров частиц при дроблении 2.7.1. Модели Колмогорова, Барндорфф-Нильсена-Соренсена и Рида-Йоргенсена 2.7.2. Модель процесса дробления частиц, основанная на обобщенных процессах Кокса 2.7.3. Достаточные условия возможности аппроксимации распределения логарифмов размеров частиц при дроблении сдвиговыми смесями нормальных законов 3. Некоторые свойства смесей нормальных законов 3.1. Основные определения 3.2. Идентифицируемость смесей вероятностных распределений 3.3. Устойчивость нормальных смесей относительно смешивающего распределения 3.3.1. Прямая задача 3.3.2. Обратная задача 3.4. Самоподобие смешанных гауссовских процессов 3.5. Сужение класса смешивающих законов. Масштабные смеси нормальных законов как результат симметризации 3.5.1. Сверточная модель симметризации 3.5.2. Рандомизационная модель симметризации 3.6. Взаимосвязь поведения хвостов масштабных смесей нормальных законов и соответствующих смешивающих распределений 3.6.1. Экспоненциальное убывание хвоста смеси 3.6.2. Экспоненциально-степенное убывание хвоста смеси 3.6.3. Степенное убывание хвоста смеси 3.7. Некоторые свойства распределений Стьюдента и Лапласа 3.7.1. Распределение Лапласа 3.7.2. Распределение Стьюдента 4. Волатильность 4.1. Понятие волатильности 4.2. Возможные подходы к определению и интерпретации волатильности 4.2.1. Теоретико-вероятностные характеристики изменчивости случайного процесса 4.2.2. Историческая (статистическая) волатильность 4.2.3. Неявная (подразумеваемая) волатильность 4.2.4. Вариационная волатильность 4.2.5. Различные интерпретации волатильности 4.2.6. Волатильность и информация. «Структурные» и «временные» компоненты волатильности 4.3. Подход, основанный на модели смеси распределений вероятностей 4.3.1. Декомпозиция волатильности 4.3.2. Разложение классической волатильности на динамическую и диффузионную компоненты 4.3.3. Преобразование волатильности при временном скейлинге 4.3.4. Диффузионный спектр и предполагаемый диффузионный спектр 5. Статистическое разделение смесей вероятностных распределений 5.1. Общая схема решения задачи 5.2. Задача разделения смесей вероятностных распределений и методы ее решения 5.2.1. Задача разделения смесей вероятностных распределений 5.2.2. Метод моментов 5.2.3. Метод максимального правдоподобия 5.3. EM-алгоритм и его применение к задаче оценивания неизвестных параметров смесей распределений вероятностей 5.3.1. Предварительные сведения 5.3.2. Общее описание ЕМ-алгоритма 5.3.3. Монотонность ЕМ-алгоритма 5.3.4. Проксимальные алгоритмы (РР-алгоритмы) и их свойства 5.3.5. EM-алгоритм как проксимальный алгоритм 5.3.6. Неподвижные точки ЕМ-алгоритма и локальные максимумы функции правдоподобия 5.3.7. Решение задачи разделения смесей вероятностных распределений с помощью ЕМ-алгоритма 5.3.8. Разделение конечных смесей нормальных распределений с помощью ЕМ-алгоритма 5.3.9. Выбор начальных приближений для ЕМ-алгоритма 5.3.10. Правила остановки ЕМ-алгоритма 5.3.11. Ускоренные версии ЕМ-алгоритма. STEM- и SQUAREM-алгоритмы 5.4. Модификации ЕМ-алгоритма 5.4.1. Медианные модификации ЕМ-алгоритма 5.4.2. SEM-алгоритм 5.4.3. СЕМ-алгоритм 5.4.4. МОЕМ и SAEM-алгоритмы 5.5. EM-алгоритм с большим числом компонент как средство построения непараметрических оценок плотности 5.6. Разделение смесей многомерных нормальных распределений с помощью ЕМ-алгоритма 5.7. Приближенное разделение конечных смесей с помощью метода фиксированных компонент 5.7.1. Основная идея метода фиксированных компонент 5.7.2. Разделение конечных смесей нормальных распределений с фиксированными компонентами при помощи метода наименьших квадратов 5.7.3. Разделение конечных смесей нормальных распределений с фиксированными компонентами при помощи метода наименьших модулей 5.7.4. Разделение конечных смесей нормальных распределений с фиксированными компонентами при помощи «сеточного» метода максимального правдоподобия. «Усеченный» ЕМ-алгоритм 5.7.5. Разделение конечных смесей нормальных распределений с фиксированными компонентами при помощи «сеточного» метода максимального правдоподобия. Алгоритм условного градиента 5.7.6. Приближенное разделение конечных смесей нормальных распределений с помощью «сеточного» метода моментов 5.8. Выбор модели (определение типа и числа компонент смеси) 5.8.1. Некоторые сведения из теории проверки сложных статистических гипотез 5.8.2. Проверка значимости динамической составляющей волатильности с помощью критерия отношения правдоподобия 5.8.3. «Последовательный» критерий отношения правдоподобия для определения числа компонент смеси 5.8.4. Определение числа компонент смеси с помощью SEM-алгоритма 5.8.5. Информационные критерии выбора модели (числа компонент и типа смеси) 5.9. Примеры применения ЕМ-алгоритма в «статическом» режиме 6. Скользящее (динамическое) разделение смесей вероятностных распределений. CPC-метод: описание и практическое применение 6.1. Общая идея метода скользящего разделения смесей 6.2. Оценивание предполагаемого диффузионного спектра с помощью СРС-метода 6.3. CPC-метод с оцениванием значений диффузионных компонент волатильности 6.3.1. Критерий остановки 6.3.2. Зависимость СРС-метода от выбора начальных приближений 6.3.3. Визуализация результатов 6.3.4. CPC-метод с ядерными оценками компонент волатильности 6.3.5. О влиянии ширины окна на результат применения СРС-метода 6.3.6. О влиянии масштаба (длины интервала времени между наблюдениями) на результат применения СРС-метода 6.3.7. Промежуточные итоги 6.4. CPC-метод с фиксированными значениями компонент волатильности 6.4.1. Основная идея СРС-метода с фиксированными значениями компонент волатильности 6.4.2. CPC-метод с фиксированными значениями компонент волатильности. Случай равномерной сетки 6.4.3. CPC-метод с фиксированными значениями компонент волатильности. Случай неравномерной сетки. Дискретизация пространства компонент волатильности 6.4.4. Сравнительная эффективность СРС-метода с фиксированными значениями компонент волатильности 6.4.5. Сравнение версий СРС-метода с оцениваемыми и фиксированными значениями компонент волатильности 6.4.6. Эффект «насыщения» (эффект «достаточности» числа компонент) масштабных смесей, оцененных CPC-методом. Еще раз о том, что такое волатильность 6.5. CPC-метод с оцениванием диффузионных и динамической компонент волатильности 6.5.1. Интерпретация динамической компоненты волатильности 6.5.2. Оценивание диффузионной и динамической компонент волатильности с помощью ЕМ-алгоритма и его медианных версий 6.5.3. Оценивание диффузионной и динамической компонент волатильности с помощью SEM-алгоритма и его медианных версий 6.5.4. Практические выводы 6.6. Исследование динамики корреляционной структуры хаотических стохастических процессов с помощью скользящего разделения смесей многомерных наблюдений 6.7. Примеры применения СРС-метода к анализу влияния информационных интервенций на состояние финансовых рынков 6.7.1. Взрывы в лондонском метро в июле 2005 года 6.7.2. Падение российского рынка в период с февраля по март 2007 года 6.7.3. События в США 11 сентября 2001 года 7. Применение СРС-метода к изучению турбулентности 7.1. Хаос, стохастика, гидродинамическая и плазменная турбулентность 7.2. Феноменология турбулентности. Перемежаемость 7.3. Параметрические смешанные гауссовские модели турбулентности 7.4. «Статическая» подгонка смесей нормальных законов к эмпирическим распределениям, полученным в экспериментах с турбулентной плазмой 7.5. Результаты применения метода скользящего разделения смесей Список литературы Иллюстрации