Высшая математика. В 2 ч. Ч. 1

Description

Министерство образования Республики Беларусь Белорусская государственная политехническая академия Кафедра инженерной математики УДК 501 517.9 519.62 1. Изучая материал по учебнику, следует переходить к следующему вопросу только после правильного понимания предыдущего, выполняя на бумаге все вычисления (в том числе и те, которые ради краткости опущены в учебнике) и вычерчивая имеющиеся в учебнике чертежи. 2. Особое внимание следует обращать на определение основных понятий курса, которые отражают количественную сторону или пространственные свойства реальных объектов и процессов и возникают в результате абстракции из этих свойств и процессов. Без этого невозможно успешное изучение математики. Студент должен подробно разбирать примеры, которые поясняют такие определения, и уметь строить аналогичные примеры самостоятельно. 3. При изучении материала по учебнику полезно вести конспект, в который рекомендуется выписывать определения, формулировки теорем, формулы, уравнения и т.п. На полях конспекта следует отмечать вопросы, выделенные студентом для получения письменной или устной консультации преподавателя. 1. Чтение учебника должно сопровождаться решением задач, для чего рекомендуется завести специальную тетрадь. 2. Решение задач и примеров следует излагать подробно, вычисления должны располагаться в строгом порядке, при этом рекомендуется отделять вспомогательные вычисления от основных. Ошибочные записи следует не стирать, а зачеркивать. Чертежи можно выполнять от руки, но аккуратно и в соответствии с данными условиями. 3. Решение каждой задачи должно доводиться до ответа, требуемого условием, и по возможности в общем виде с выводом формулы. Затем в полученную формулу подставляют числовые значения (если таковые даны). В промежуточных вычислениях не следует вводить приближенные значения корней, числа и т.п. 4. Решение задач определенного типа нужно продолжать до приобретения твердых навыков в их решении. 18. Векторы в пространстве R2, R3, Rn. Операции над ними. Их свойства. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы. Длина вектора. Примеры использования понятия вектора (определение координат центра масс). 1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. - М., 1980. 2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисления. - М.: Наука, 1980. 3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения, кратные интегралы, ряды, функции комплексного переменного. - М.: Наука, 1981. 4. Ефимов А.В. Краткий курс аналитической геометрии. - М.: Наука, 1965. 5. Герасимович А.И. Математическая статистика. – Мн., 1983. 6. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высш. школа, 1972. 7. Коваленко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высш. школа, 1982. 8. Элементы линейной алгебры / Под ред. Р.Ф.Апатенок. - Мн.: Выш. школа, 1977. 9. Араманович В.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1964. 10. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. В 3 ч. / Под ред. проф. А.П.Рябушко. – Мн.: Выш. школа, 1990. 11. Сборник индивидуальных заданий по теории вероятностей и математической статистике / Под ред. проф. А.П.Рябушко. – Мн.: Выш. школа, 1992. 1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2 т. - М.: Высш. школа, 1981. 2. Воеводин В.В. Линейная алгебра. - М.: Физматгиз, 1980. 3. Жевняк Р.М., Карпук А.А. Высшая математика. В 5 ч. – Мн.: Выш. школа, 1985. 1. Матрицы, определители. Операции над матрицами. Обратная матрица. Системы линейных уравнений и неравенств и их геометрический смысл. Экономическая интерпретация многомерных векторов и матриц и их использование в плановых расчетах. 2. Решение Крамеровских систем уравнений. Метод Гаусса для решения произвольных систем алгебраических уравнений. 3. Линейное пространство. Базис, размерность. Линейные операторы. Пространства R1, R2, R3. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. 4. Скалярное, векторное и смешанное произведение в R3. Евклидово пространство. Ортогональный базис. Угол между двумя векторами. 5. Метод координат. Расстояние между точками в пространстве. Уравнение линии на плоскости. Прямая и плоскость в пространстве. Расстояние от точки до прямой и плоскости. 6. Логическая символика. Основные числовые множества. Элементарные функции, их свойства и графики. 7. Предел функции и его свойства. Непрерывность функции в точке и классификация точек разрыва. Непрерывность основных элементарных функций. 8. Техника вычисления пределов. Бесконечно большие и малые функции. Сравнение бесконечно малых. 9. Глобальные свойства непрерывных функций. Приближенное решение уравнений (методом половинного деления). 10. Производная функции, ее механический и геометрический смысл. Связь непрерывности и дифференцируемости функции. 11. Основные правила дифференцирования. Теоремы о производной сложной и обратной функции. 12. Понятие о производных высших порядков. Дифференциал и его геометрический смысл. 13. Экстремумы функций. Основные теоремы о дифференцируемых функциях (Ферма, Ролля, Лагранжа). Оценка погрешности вычислений. 14. Формула Тейлора. Правило Лопиталя. Примеры. 15. Условия монотонности функции. Признаки точек экстремума и перегиба. Выпуклость функции и ее достаточное условие. 16. Асимптоты функции и общая схема исследования функции и построения графиков. 17. Понятие функции нескольких переменных. Частные производные. Дифференцируемость функций нескольких переменных. Полный дифференциал. 18. Частные производные высших порядков. Формула Тейлора. 19. Экстремум функций нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия экстремума. Обзор методов определения локальных и глобальных экстремумов функций нескольких переменных. 20. Эмпирические формулы. Выбор параметров эмпирических формул методом наименьших квадратов. 21. Первообразная и неопределенный интеграл. Простейшие приемы интегрирования: интегрирование заменой переменной и по частям. 22. Интегрирование рациональных функций и функций, допускающих рационализацию. 23. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Приемы вычисления определенного интеграла. 24. Теорема существования определенного интеграла. Понятие о численных методах нахождения определенных интегралов. 25. Приложения определенного интеграла в геометрии и механике. 26. Несобственные интегралы первого и второго рода. Понятие о двойном интеграле. 27. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Простейшие свойства числовых рядов. Необходимый признак сходимости. 28. Достаточные признаки сходимости: сравнения, Даламбера, Коши, интегральный. Примеры. 29. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница. 30. Степенные ряды. Область сходимости. Теорема Абеля. Нахождение радиуса сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов (обзор). 31. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение в степенной ряд основных элементарных функций. 32. Применение рядов к приближенным вычислениям. 33. Задачи, приводящие к ОДУ. Порядок ОДУ, общее и частное решение. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. 34. Основные ОДУ, интегрируемые в квадратурах (в полных дифференциалах, однородные, линейные первого порядка). 35. Линейные ОДУ второго порядка. Линейно зависимые и независимые решения. Теорема о структуре общего решения. 36. Решение линейных ОДУ высших порядков с постоянными коэффициентами: со специальной правой частью и методом вариации произвольных постоянных. 37. Понятие о приближенных методах решения ОДУ. 45. Математическое ожидание для дискретной и непрерывной случайной величины. Дисперсия и квадратическое отклонение, их свойства. 46. Законы распределения случайных величин: равномерный, биномиальный, Пуассона, нормальный. 47. Понятие о предельных теоремах. Закон больших чисел. 48. Элементы теории массового обслуживания. 49. Задачи математической статистики. Выборка. Эмпирическая функция распределения. Полигон, гистограмма. 50. Точечные оценки неизвестных параметров распределения. Методы получения оценок. 51. Интервальные оценки неизвестных параметров распределения. 52. Проверка статистических гипотез. 53. Элементы корреляционного анализа. 54. Элементы регрессионного анализа и прогнозирование. 55. Общая постановка задач линейного программирования. Из ометрический метод. 56. Симплекс-метод. Метод искусственного базиса. Двойственный симплекс-метод. 57. Транспортная задача. Метод распределения ресурсов. 58. Метод потенциалов. 59. Задачи целочисленного программирования. Метод Гомори. Градиентные методы решения задач на безусловный экстремум. 60. Условный экстремум. Теорема Куна-Таккера. 5. Шипачев В.С. Высшая математика. - М., 1985. 6. Шестаков А.А. и др. Курс высшей математики. - М., 1987. 7. Мантуров О.В. и др. Курс высшей математики. - М., 1986. 8. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М., 1977. 9. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. - М., 1980. 10. Сборник задач по курсу высшей математики / Под ред. Г.И.Кручковича. - М., 1973. 11. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М., 1979. 12. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. В 3 ч. / Под ред. проф. А.П.Рябушко. - Мн., 1990. – Ч 1-3. 13. Сборник индивидуальных заданий по теории вероятностей и математической статистике / Под ред. проф. А.П.Рябушко. - Мн., 1992. 14. Четыркин Е.М., Калихман И.Л. Вероятность и статистика. - М.: Финансы и статистика, 1982. 15. Акулич И.Л.. Математическое программирование в примерах и задачах. - М.: Высш. школа, 1993. 16. Сборник индивидуальных заданий по теории вероятностей и математической статистике / Под ред. А.П.Рябушко. - Мн.: Выш. школа, 1992. 17. Кузнецов А.В., Холод Н.И., Костевич Л.С. Руководство к решению задач по математическому программированию. - Мн.: Выш. школа, 1978. 18. Кузнецов А.В., Новиков Г.И., Холод Н.И. Сборник задач по математическому программированию. - Мн.: Выш. школа, 1985. 1) указывать на титульном листе номер работы, название дисциплины, номер курса и название факультета, номер зачетной книжки, фамилию, имя и отчество, обратный адрес; 2) решения задач приводить в порядке, указанном в задании; 3) перед каждым решением указывать полный номер задачи (например, 4.2.17 - четвертая работа, задание 2, вариант 17) и ее условие согласно заданию; 4) решения приводятся с необходимыми краткими пояснениями, крупным и разборчивым почерком; 5) после каждого решения оставлять место для возможных замечаний рецензента; 6) незачтенные работы не оформлять заново (если на необходимость этого не указано рецензентом). Исправленные решения задач приводятся в конце работы.