Вычислительная математика. Численные методы интегрирования и решения дифференциальных уравнений и систем

Description

Настоящее пособие служит руководством студентам для самостоятельного выполнения заданий и составлено в соответствии с программами: «Вычислительная математика», «Информатика», «Моделирование систем и процессов», «Информатика и информационные технологии», может быть полезно студентам инженерных специальностей и направлений. Пособие содержит краткий теоретический материал по темам: «Численное интегрирование», «Численное решение дифференциальных уравнений и систем», «Метод сеток решения волнового уравнения», «Решение жестких задач», «Обзор математических программных систем». В пособии даны рекомендации использования программы Mathcad (Professional-2000) и приводятся подробные решения задач по данным темам с детальными пояснениями и с алгоритмами решений на языке Python. Введение 1. Основные подходы к построению формул численного интегрирования 1.1. Первый подход. Интерполяционные квадратурные формулы 1.2. Второй подход. Квадратурные формулы наилучшей степени точности 1.3. Третий подход. Квадратурные формулы с наилучшей оценкой на классе функций 2. Простейшие методы численного интегрирования 2.1. Формула прямоугольников 2.2. Формула трапеций 2.3. Формула парабол (формула Симпсона) 2.4. О точности квадратурных формул 2.5. Задание для самостоятельной работы и рекомендации по выполнению 2.6. Некоторые рекомендации использования программы Mathcad (Professional-2000) при вычислении определенного интеграла 2.7. Решение примерного варианта. Разработка программы на языке Python 2.8. Программирование формулы трапеций в программе Mathcad 2.9. Программирование формулы Симпсона в программе Mathcad 2.10. Варианты заданий 3. Формула Ньютона – Котеса 4. Квадратурная формула Гаусса 4.1. Вывод квадратурной формулы Гаусса 4.2. Задание для самостоятельной работы и решение примерного варианта 4.3. Варианты заданий 5. Вычисление несобственных интегралов 5.1. Метод усечения 5.2. Метод Л. В. Канторовича выделения особенностей 5.3. Задание для самостоятельной работы и методические рекомендации по ее выполнению 5.4. Некоторые рекомендации использования программы Mathcad при вычислении несобственных интегралов 5.5. Решение примерного варианта 5.6. Варианты заданий 6. Вычисление кратных и криволинейных интегралов 6.1. Вычисление кратных интегралов 6.2. Криволинейный интеграл по длине дуги (криволинейный интеграл I рода). Вычисление криволинейного интеграла I рода 6.3. Криволинейный интеграл по координатам (криволинейный интеграл II рода). Вычисление криволинейных интегралов II рода 6.4. Некоторые рекомендации использования программы Mathcad (Professional-2000) при вычислении кратных и криволинейных интегралов 6.5. Задание для самостоятельной работы и решение примерного варианта в программе Mathcad (Professional-2000) 6.6. Варианты заданий 7. Численное решение дифференциальных уравнений и систем 7.1. Постановка задачи решения обыкновенного дифференциального уравнения 7.2. Метод Эйлера 7.3. Методы Рунге – Кутта 7.4. Алгоритмы решения системы дифференциальных уравнений 7.5. Метод сеток решения волнового уравнения. Об оценке погрешности и сходимости метода сеток решения волнового уравнения 7.6. Некоторые рекомендации использования программы Mathcad (Professional-2000) при численном решении обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и систем 7.7. Некоторые рекомендации использования программ Mathcad (Professional-2000) и Excel при численном решении волнового уравнения 7.8. Задание для самостоятельной работы и решение примерного варианта. Разработка программы на языке Python 7.9. Варианты заданий 8. Решение жестких задач 8.1. Основные определения 8.2. О методах решения жестких задач 8.3. Связь понятия жесткости с понятиями устойчивости, неустойчивости и точности 8.4. Некоторые рекомендации использования программы Mathcad (Professional-2000) при решении жестких задач 8.5. Примеры жестких систем и их решение на ПК 9. Обзор математических программных систем Литература