Аналитическая геометрия. Лекции по геометрии. Часть I: Учебное пособие.

Description

Постников Μ. Μ. Аналитическая геометрия. Лекции по геометрии. Часть I: Учебное пособие. 3-е изд., испр. — СПб.: Издательство «Лань», 2009. — 416 с.: ил. — (Учебники для вузов. Специальная литература). ISBN 978-5-8114-0889-4 Книга написана на основе лекций, которые автор в течение ряда лет читал на механико-математическом факультете МГУ. Изложение ведется на основе «векторно-точечной» аксиоматики и на высоком уровне строгости и формализации. Помимо стандартных сведений, в книге приведено довольно много дополнительных материалов, обычно не попадающих в учебники аналитической геометрии. Подробно изложена теория ориентаций, бивекторов и тривекторов. Учебное пособие предназначено для студентов математических специальностей вузов. Предисловие ко второму изданию Предисловие к первому изданию ЛЕКЦИЯ 1 (Предмет аналитической геометрии. — Векторы. — Сложение векторов. — Умножение вектора на число. — Линейные пространства. — Примеры. — Линейные пространства над произвольным полем.) ЛЕКЦИЯ 2 (Простейшие следствия аксиом линейного пространства. — Независимость суммы любою числа векторов от расстановки скобок. — Понятие семейства. — Линейная зависимость и независимость. — Линейно независимые множества. — Свойства линейной зависимости. — Теорема о линейной зависимости.) ЛЕКЦИЯ 3 (Коллинеарные векторы. — Компланарные векторы — Геометрический смысл коллинеарности и компланарности. — Полные семейства векторов, базисы, размерность. — Аксиома размерности. — Критерий базиса. — Координаты вектора. — Обозначения для сумм — Свойства сумм. — Координаты суммы векторов и произведения вектора на число.) ЛЕКЦИЯ 4 (Изоморфизмы лииеиных пространств. — Координатные изоморфизмы. — Изоморфность линейных пространств одной и той же размерности. — Метод координат. — Аффинные пространства. — Изоморфность аффинных пространств одной и гои же размерности. — Аффинные координаты. — Прямые в аффинном пространстве»— Отрезки.) ЛЕКЦИЯ 5 (Параметрические уравнения прямой. — Уравнение прямой на плоскости. — Каноническое уравнение прямой иа плоскости. — Общее уравнение прямой на плоскости. — Параллельные прямые. — Взаимное расположение Двух прямых на плоскости. — Теорема единственности. — Прямые, проходящие через точку пересечения двух прямых. — Расположение прямой по отношению к осям координат. — Полуплоскости, на которые прямая разбивает плоскость.) ЛЕКЦИЯ 6 (Матрицы. — Умножение матриц. — Двойные суммы. — Ассоциативность умножения матриц. -- Квадратные матрицы. — Переход от одного базиса линейного пространства к другому — Формулы преобразования координат векторов. — Формулы преобразования аффинных координат точек — Ориентации. — Ориентации прямой, плоскости и пространства.) ЛЕКЦИЯ 7 (Унимодулярио эквивалентные семейства векторов. — Линейно эквивалентные семейства векторов. — Характеризация унимо-дулярно эквивалентных семейств — Элементарные преобразования матриц. — Ориентации как классы одноименных базисов. — Стороны прямой. — Индуцированная ориентация прямой. — Ориентация прямой, задаваемая уравнением.) ЛЕКЦИЯ 8 (Внешние произведения. — Бивектор как плоскостной аналог вектора. — Тривектор как пространственный аналог вектора. — Умножение m-вектора на число. — Антикоммутативность внешнего произведения векторов. — Однородность внешнего произведения векторов. — я-векторы. —Ориентации. — Дистрибутивность внешнею умножения.) ЛЕКЦИЯ 9 (Длины, площади и объемы. — Сложение бивекторов в пространстве. — Линейное пространство бивекторов.) ЛЕКЦИЯ 10 (Ассоциативность слежения бивекторов. — Базис пространства бивекторов. — Условие параллельности вектора бивектору. — Плоскости в пространстве. — Параметрические уравнения плоскости. — Общее уравнение плоскости. — Плоскость, проходящая через три неколлинеарные точки.) ЛЕКЦИЯ 11 (Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. — Прямые в пространстве. — Плоскости, проходящие через данную прямую. — Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. — Плоскости, проходящие через точку пересечения трех плоскостей. — Взаимное расположение двух прямых в пространстве. — Полупространства, на которые плоскость разбивает пространство. — Индуцированная ориентация плоскости. — Ориентация плоскости, задаваемая уравнением.) ЛЕКЦИЯ 12 (Скалярное произведение. — Аксиомы скалярного умножения — Евклидовы пространства. — Длина вектора и угол между векторами. — Неравенство Коши—Буняковского — Неравенство треугольника. — Теорема о диагоналях параллелограмма. — Ортогональные векторы и теорема Пифагора — Метрическая Форма н метрические коэффициенты. — Условие положительной определенности — Формулы преобразования метрических коэффициентов прн замене базиса.) ЛЕКЦИЯ 13 (Ортонормирование семейства векторов и коэффициенты Фурье — Ортонормированные базисы и прямоугольные координаты. — Разложение положительно определенных матриц. — Процесс ортогонализации Грама—Шмндта. — Изоморфизм евклидовых пространств. — Ортогональные матрицы. — Ортогональные матрицы второго порядка. — Φoрмулы преобразования прямоугольных координат) ЛЕКЦИЯ 14 (Тривекторы в евклидовом ориентированном пространстве. — Смешанное произведение трех векторов. — Площадь бивектора в евклидовом пространстве — Вектор, дополнительный к бивектору в евклидовом ориентированном пространстве — Векторное умножение и его свойства) ЛЕКЦИЯ 15 (Изоморфизм линеалов векторов и бивекторов. — Выражение векторного произведения в координатах — Двойное векторное произведение. — Определители Грама) ЛЕКЦИЯ 16 (Прямая в евклидовой плоскости. — Расстояние от точки до прямой. — Углы между прямыми. — Плоскость в евклидовом пространстве. — Расстояние от точки до плоскости. — Угол между двумя плоскостями, между прямой и плоскостью, между двумя прямыми — Расстояние от точки до примой в пространств — Расстояние между двумя прямыми в пространстве — Уравнения общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых в пространстве.) ЛЕКЦИЯ 17 (Парабола — Директориальное и оптическое свойства параболы. — Эллипс — Фокальное, директориальное н оптическое свойства эллипса — Гипербола. — Фокальное, директорналь-ное и оптическое свойства гиперболы.) ЛЕКЦИЯ 18 (Уравнения эллипсов, парабол и гипербол, отнесенные к вершине. — Эллипсы, параболы и гиперболы как конические сечения. — Полярные координаты. — Уравнения эллипсов, парабол и гипербол в полярных координатах — Аффинные эллипсы, параболы, гиперболы. — Алгебраические линии. — Линии второго порядка и связанные с ними трудности. — Комплексная аффинная геометрия и ее недостаточность.) ЛЕКЦИЯ 19 (Вещественно-комплексные линейные пространства — Их размерность. — Изоморфизм вещественно-комплексных линейных пространств. — Комплексификация. — Вещественно-комплексные аффинные пространства. — Комплексификация аффинных пространств. — Вещественно-комплексные евклидовы пространства. — Вещественные» мнимые и действительные линии второго порядка.) ЛЕКЦИЯ 20 (Вводные замечания. — Преобразование уравнения линии второго порядка. — Центры линии второго порядка. — Центры симметрии. — Корректность определения центров. — Центральные и нецентральные лнннн второго порядка. — Прямые неасимптотнческого направления. — Касательные. — Прямые асимптотического направления.) ЛЕКЦИЯ 21 (Особые и неособые направления, — Диаметры — Диаметры и центры. — Сопряженные направления и сопряженные диаметры. — Упрощение уравнения центральной линии второго порядка. — Упрощение уравнения нецентральной лннни второго порядка.) ЛЕКЦИЯ 22 (Линии второго порядка на комплексной аффинной плоскости — Линин второю порядка на вещественно-комплексной аффинной плоскости. — Единственность уравнения линии второго порядка — Линин второго порядка на евклидовой плоскости. — Окружности.) ЛЕКЦИЯ 23 (Эллипсоиды. — Мнимые эллипсоиды. — Мнимые конусы второго порядка. — Двуполостные гиперболоиды — Однополостные гиперболоиды. — Прямолинейные образующие однопо-лестного гиперболоида.) ЛЕКЦИЯ 24 (Конусы второго порядка. — Эллиптические параболоиды -- Гиперболические параболоиды — Прямолинейные образую щие гиперболического параболоида — Эллиптические цилич-дры — Остальные поверхности второго порядка — Формулировка теоремы классификации поверхностей второго порядка.) ЛЕКЦИЯ 25 (Ортогональные и аффинные преобразования. — Выражение аффинного преобразования в координатах. — Примеры аффинных преобразований. — Разложение аффинных преобразований. Ортогональные преобразования. — Движения плоскости. — Симметрии и скользящие симметрии) ЛЕКЦИЯ 26 (разложение движения плоскости в композицию двух симметрий. — Центр композиции двух вращений плоскости. — Вращения пространства. — Углы Эйлера. — Винтовые движения.) ЛЕКЦИЯ 27 (Вращения сферы. — Стереографические координаты на сфере. — Вращения вокруг координатных осей — Дробно-линейные преобразования. — Запись вращений сферы в виде дробно-линейных преобразований плоскости. — Примеры вращений — Задание вращения сферы углом и полюсом. — Дальнейшие примеры вращений. — Самосовмещения куба.) ЛЕКЦИЯ 28 (Симметрии пространства. — Разложение ортогональных преобразований в композицию симметрий. — Скользящие симметрии и вращения с переворотом.) ЛЕКЦИЯ 29 (Координаты прямой. — Пучки прямых. — Собственные и несобственные пучки. — Расширенные плоскости. Модели аф-фипио-проективной геометрии. — Однородные аффинные коордннаты — Формулы преобразования однородных аффинных координат. — Уравнения прямых в однородных координатах — Линии второго порядка на аффинно-проективной плоскости — Окружности на евклидово-проективном вещественно-комплексной плоскости) ЛЕКЦИЯ 30 (Пучки плоскостей. -- Связки плоскостей. — Аффинно-проективное пространство. — Проективная плоскость. — Линин второго порядка на проективной плоскости — Координатные изоморфизмы линейных пространств — Координатные изоморфизмы аффинных пространств — Аффинно-проектнвные пространства — Проективные пространства) ЛЕКЦИЯ 31 (Теорема Дезарга. Теорема Паппа—Паскаля. — Теорема Фано — Принцип двойственности. — Модели проективной плоскости — Модели проективной прямой и проективного пространства) ЛЕКЦИЯ 32 (Комплексная проективная прямая н ее проективные преобразования — Линейные преобразования — Инверсия — Инверсия и дробно-линейные преобразования. — Два свойства дробно-линейных преобразований — Неподвижные точки дробно-линейных преобразований — Параболические, эллиптические, гиперболические и локсодромические дробно-линейные преобразования — Теорема о трех точках — Множитель дробно-линейного непараболического преобразования — Классификация дробно-линейных преобразований — Дробно-линейные преобразования, задающие вращения сферы.) ЛЕКЦИЯ 33 (Первая группа аксиом Гильберта. — Вторая группа аксиом — Третья группа аксиом —Четвертая группа аксиом —Пятая группа аксиом. —Непротиворечивость аксиоматики Гильберта — Неевклидовы геометрии. — I еометрня Лобачевского — Модель Пуанкаре) Предметный указатель