Calcul intégral

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# MANUEL Le calcul intégral au fil du temps Particularités de l'ouvrage Remerciements Table des matières CHAPITRE 1 Dérivées et théorèmes d'analyse Perspective historique Exercices préliminaires 1.1 Dérivée, dérivation implicite et dérivation logarithmique Définition et interprétation graphique de la dérivée Formules de dérivation Dérivation implicite Dérivation logarithmique 1.2 Différentielles Définitions et représentation graphique de la différentielle Approximation en utilisant la différentielle 1.3 Théorèmes sur les fonctions continues Théorème de la valeur intermédiaire et théorème des valeurs extrêmes Théorème de Rolle Théorème de Lagrange et théorème de Cauchy 1.4 Règle de L'Hospital Indéterminations de la forme 0/0 Indéterminations de la forme (+ ou -)∞/(+ ou -)∞ Indéterminations de la forme (+∞ - ∞) ou (-∞ + ∞) Indéterminations de la forme 0 ((+ ou -)∞) Indéterminations de la forme 0º, (+∞)º et 1(+ ou -)∞ Réseau de concepts Exercices récapitulatifs Problèmes de synthèse CHAPITRE 2 Intégration Perspective historique Exercices préliminaires 2.1 Intégrale indéfinie et formules de base Intégrale indéfinie Formules de base pour l'intégrale indéfinie Propriétés de l'intégrale indéfinie Transformation de l'intégrande 2.2 Intégration à l'aide d'un changement de variable Changement de variable Intégration des fonctions tangente, cotangente, sécante et cosécante Utilisation d'artifices de calcul pour intégrer 2.3 Résolution d'équations différentielles Équations différentielles Familles de courbes 2.4 Applications de l'intégrale indéfinie Position, vitesse et accélération Croissance et décroissance exponentielles Demi-vie Économie Réseau de concepts Exercices récapitulatifs Problèmes de synthèse CHAPITRE 3 Intégrale définie Perspective historique Exercices préliminaires 3.1 Notions de sommations Utilisation du symbole de sommation Σ, appelé «sigma» Théorèmes sur les sommations Formules de sommation 3.2 Somme de Riemann et intégrale définie Somme de Riemann Aires de rectangles inscrits et circonscrits sur [a, b] Intégrale définie Propriétés de l'intégrale définie 3.3 Théorème fondamental du calcul Théorème fondamental du calcul Changement de variable dans l'intégrale définie 3.4 Calcul d'aires à l'aide de l'intégrale définie Aire de régions délimitées par une courbe et un axe Aire de régions fermées comprises entre deux courbes 3.5 Applications de l'intégrale définie Applications de l'intégrale définie en physique Applications de l'intégrale définie en calcul des probabilités Applications de l'intégrale définie en économie 3.6 Évaluation d'intégrales définies sans déterminer la primitive Intégration de fonctions symétriques Méthode des trapèzes Méthode de Simpson Calcul d'aires à l'aide d'outils technologiques Réseau de concepts Exercices récapitulatifs Problèmes de synthèse CHAPITRE 4 Techniques d'intégration Perspective historique Exercices préliminaires 4.1 Intégration par parties Formule d'intégration par parties Utilisations successives de la formule d'intégration par parties Cas où nous obtenons une intégrale identique à l'intégrale initiale Formules de réduction Utilisation de la formule d'intégration par parties pour calculer des intégrales définies 4.2 Intégration de fonctions trigonométriques Intégrales de la forme ∫ sin n ax dx ou ∫ cos n ax dx, où n ∈ (2,3,4, ...) Intégrales de la forme ∫ sin m ax cos n ax dx Intégrales de la forme ∫ (sin ax cos bx)n dx, ∫ (sin ax sin bx)n dx et ∫ (cos ax cos bx)n dx, où n ∈ 8712; {1, 2, 3, …} Intégrales de la forme ∫ tan n ax dx, où n ∈ {2, 3, 4,…} Intégrales de la forme ∫ sec n ax dx, où n ∈ {3, 4, 5,…} Intégrales de la forme ∫ sec n ax tan m ax dx Autres formes d'intégrales de fonctions trigonométriques 4.3 Intégration par substitution trigonométrique Construction de triangles rectangles correspondant à une équation trigonométrique Intégration de fonctions contenant une expression de la forme radicale de a² - x² Intégration de fonctions contenant une expression de la forme radicale de a² + x² Intégration de fonctions contenant une expression de la forme radicale de x² - a² Intégration de fonctions contenant une expression de la forme a² - b²x², a² + b²x² ou b²x² - a² Intégration de fonctions contenant une expression de la forme ax² + bx + c, où a ≠ 0 Substitution de Weierstrass 4.4 Intégration de fonctions rationnelles par décomposition en une somme de fractions partielles Décomposition en une somme de fractions partielles et intégration de fonctions rationnelles Intégration de fonctions non rationnelles Équation logistique et applications Réseau de concepts Exercices récapitulatifs Problèmes de synthèse CHAPITRE 5 Applications de l'intégrale définie et intégrales impropres Perspective historique Exercices préliminaires 5.1 Volume de solides de révolution Représentation graphique de solides de révolution Méthode du disque Méthode du tube 5.2 Volume de solides de section connue 5.3 Longueur de courbes planes Longueur de courbes planes Équations paramétriques 5.4 Aire de surfaces de révolution Aire d'une surface de révolution 5.5 Intégrales impropres Intégrales de fonctions tendant vers (+ ou -)∞, pour une ou plusieurs valeurs xi appartenant à l'intervalle d'intégration [a, b] Intégrales de fonctions où au moins une des bornes d'intégration est infinie Test de comparaison pour les intégrales impropres Applications de l'intégrale impropre Réseau de concepts Exercices récapitulatifs Problèmes de synthèse CHAPITRE 6 Suites et séries Perspective historique Exercices préliminaires 6.1 Suites Définitions et notations Représentations graphiques d'une suite Convergence et divergence d'une suite Suites bornées et suites monotones 6.2 Séries infinies Convergence et divergence d'une série Série harmonique Série arithmétique Série géométrique Critère du terme général 6.3 Séries à termes positifs Critère de l'intégrale Séries de Riemann (séries-p) Critère des polynômes Critère de d'Alembert (critère du rapport) Critère de Cauchy (critère de la racine nième) Critère de comparaison Critère de comparaison à l'aide d'une limite 6.4 Séries alternées, convergence absolue et convergence conditionnelle Séries alternées Convergence absolue et convergence conditionnelle 6.5 Séries de puissances Convergence et divergence de séries de puissances Dérivation et intégration de séries de puissances 6.6 Séries de Taylor et de Maclaurin Polynômes de Taylor et de Maclaurin Formule de Taylor et formule de Maclaurin Série de Taylor, série de Maclaurin et approximation Développement de fonctions en série à partir d'un développement connu approprié Approximation d'intégrales définies à l'aide des séries de Taylor ou de Maclaurin Réseau de concepts Exercices récapitulatifs Problèmes de synthèse Corrigé Sources iconographiques Index Aide-mémoire