Решение задач по математике. Практикум для студентов средних специальных учебных заведений

Description

Учебное пособие содержит основные теоретические сведения и формулы элементарной и высшей математики в рамках примерной программы учебной дисциплины среднего профессионального образования «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» с учетом стандарта среднего (полного) общего образования по математике. Пособие дает возможность упорядочить и систематизировать материал курса математики, получить устойчивые навыки решения задач, устранить возможные пробелы в знаниях, подготовиться к сдаче вступительных испытаний в вуз. Структура пособия, самодостаточность отдельных разделов и подбор задач обеспечивает вариативность построения курса в учебных заведениях различного профиля по последовательности, приоритетности, глубине освоения тем и сложности рассматриваемых задач. Большое число представленных примеров и задач (более 1000) обеспечивает надежное осмысление теоретического материала и его практическое применение. Все задачи снабжены решениями или ответами. Книга может быть использована в качестве учебного пособия по математике студентами средних специальных учебных заведений, обучающихся по специальностям: «Техника и технологии в строительстве», «Информатика и вычислительная техника», «Электроника, радиотехника и системе связи», «Машиностроение», «Техника и технологии наземного транспорта», «Управление в технических системах» и другим промышленным, строительным, транспортным специальностям, входящим в УГС. Пособие будет полезно преподавателям и учащимся старших классов школ, а также слушателям подготовительных отделений вузов и студентам младших курсов технических вузов. 1. ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ Операции над множествами Основные математические обозначения Числовые множества Числовая ось Пропорции Средние величины Проценты Округление чисел Абсолютная и относительная погрешности Комплексные числа 1.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 1.3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 2. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 2.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ Степени с целым показателем Многочлены Формулы сокращенного умножения Бином Ньютона Модуль (абсолютная величина) числа Корни с натуральным показателем Степени с рациональным показателем Исключение иррациональности в знаменателе 2.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 2.3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 3. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 3.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ Линейная функция Линейные уравнения Системы линейных уравнений с двумя неизвестными Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Линейные неравенства Системы и совокупности неравенств 3.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 3.3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 4. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 4.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ Квадратичная функция Квадратные уравнения Теорема Виета Квадратные неравенства Расположение корней квадратного трехчлена 4.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 4.3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 5. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 5.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ Многочлены степени n Обобщенная теорема Виета Дробно-рациональные уравнения Уравнения, решаемые заменой переменной Симметричные уравнения Однородные уравнения Системы алгебраических уравнений Дробно-рациональные неравенства 5.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 5.3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 6. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ 6.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ Уравнения с модулем Неравенства с модулем 6.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 6.3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 7. ФУНКЦИИ 7.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ Графики основных элементарных функций Элементарные, сложные, обратные функции Полярная система координат Свойства функций Преобразование графиков функций 7.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 7.3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 8. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 8.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 8.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 8.3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 9. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 9.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ Показательная и логарифмическая функции Действия с логарифмами 9.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 9.3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 10. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 10.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 10.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 10.3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 11. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 11.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 11.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 11.3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 12. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 12.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ Тригонометрическая окружность Функции на тригонометрической окружности Тригонометрические тождества Формулы для суммы и разности аргументов Формулы двойных и половинных углов Формулы преобразования сумм Формулы преобразования произведений Формулы понижения степени Универсальная тригонометрическая подстановка 12.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 12.3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 13. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 13.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ Значения обратных тригонометрических функций Действия с обратными тригонометрическими функциями 13.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 13.3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 14. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 14.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ Простейшие тригонометрические уравнения Уравнения вида asinx + bcosx = c Однородные уравнения Уравнения вида R(sinx; cosx) = 0 Уравнения с разными аргументами 14.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 14.3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 15. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА 15.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ Простейшие тригонометрические неравенства Решение неравенств на тригонометрической окружности Графический метод решения неравенств Метод интервалов решения неравенств Решение неравенств вида asinx + bcosx < c 15.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 15.3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 16. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ 16.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ Предел последовательности Предел функции Асимптоты Непрерывность функции Свойства функции, непрерывной на отрезке 16.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 16.3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 17. ПРОИЗВОДНАЯ 17.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ Дифференцирование функций Правила дифференцирования Монотонность функции. Экстремумы Выпуклость и вогнутость графика функции 17.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 17.3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 18. ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ 18.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ Первообразная функции Таблица неопределенных интегралов Интегральная сумма и определённый интеграл Формула Ньютона – Лейбница Приложения определенного интеграла 18.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 18.3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 19. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И КОМБИНАТОРИКА 19.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ Испытания и события Относительная частота событий Вероятность Формулы комбинаторики Теоремы умножения и сложения вероятностей Надежность систем Схема Бернулли Свойства функции распределения и плотности вероятности Числовые характеристики случайных величин Свойства математического ожидания и дисперсии Основные законы распределения вероятностей случайных величин 19.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 19.3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 20. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 20.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ Статистическое распределение выборки Полигон и гистограмма Числовые характеристики выборки 20.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 20.3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 21. ВЕКТОРЫ 21.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ Прямоугольная декартова система координат Векторы в декартовой системе координат Линейные операции над векторами Скалярное произведение векторов 21.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 21.3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 22. СТЕРЕОМЕТРИЯ 22.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ Взаимное расположение прямых и плоскостей Симметрия в пространстве Уравнения прямой на плоскости Уравнение плоскости Уравнения прямой в пространстве Аксиомы и теоремы стереометрии 22.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 22.3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 23. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ТЕЛА 23.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ Многогранники Пирамида Призма Параллелепипед Цилиндр Конус Сфера и шар Вписанные и описанные шары Изображение пространственных фигур 23.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 23.3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПРИЛОЖЕНИЕ А. Таблица значений функции Лапласа ПРИЛОЖЕНИЕ В. Латинский и греческий алфавиты СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ