El rincón de la pizarra. Ensayos de visualización en análisis matemático. Elementos básicos del análisis.

Description

En esta obra encontrará una multitud de "rincones de la pizarra" que pretenden transmitir precisamente las intuiciones visuales que apoyan a los conceptos y procesos matemáticos más básicos e importantes en el aprendizaje del análisis matemático en el nivel universitario y en los últimos años de la escuela secundaria o preparatoria. Prólogo 0- El papel de la visualización 1- ¿Qué es la visualización? 2- Formas de visualización 3- La visualización a lo largo del tiempo 4- Papel de la visualización en el análisis matemático 5- Obstáculos a la visualización 6- Visualización sin y con ordenador Bibliografía 1- Visualización de conjuntos de números reales. Supremo, ínfimo 1- Conjuntos de números reales. Intervalos 2- Cota superior e inferior de un conjunto. Supremo e ínfimo. 3- La no numerabilidad de R 4- Un ejemplo interesante del uso del supremo. Demostración visual de teorema de Kronecker 5- Visualización de las relaciones entre conjuntos. 2- Visualización de valor absoluto. Distancia entre puntos. 1- Valor absoluto. 2- Utilización de la interpretación visual del valor absoluto. 3- Limitaciones de la visualización. 4- Visualización de desigualdades a través del ordenador. 3- Visualización de las nociones topológicas fundamentales del análisis real. 1- Introducción 2- Interior de un conjunto. Conjuntos abiertos 3- Exterior 4- Frontera 5- Cierre o adherencia de un conjunto. Conjuntos cerrados 6- Algunas propiedades de abiertos y cerrados. 7- La estructura de un abierto d R 8- Conjuntos compactos 9- Todo conjunto perfecto es no numerable 4- Visualización de sucesiones y sus límites 1- Sucesiones 2- Límite de una sucesión 3- Visualización de la noción de límite superior e inferior 4- La condición de Cauchy 5- Sobre el uso de los cuantificadores 5- Visualización de series numéricas 1- Visualización en R2 2- Comparación con una integral 3- Otra forma de visualización de una serie 6- Métodos visuales de exploración de algunos tipos de sucesiones 1- Los problemas 2- Tipos de sucesiones 3- Sucesiones tipo A (an=f(n)) 4- Sucesiones tipo B, Sucesiones recurrentes 5- Sucesiones tipo C 7- Exploración visual de las funciones 1- Problemas iniciales. Interacción con el ordenador 2- Visualización de algunas transformaciones de las funciones 3- Función par, función impar 4- Función positiva, función negativa 5- Visualización de la función inversa 6- Experimentando con la composición de funciones 7- Visualización de las funciones dependientes de un parámetros 8- Visualización de una función subaditiva 9- La estructura de una función aditiva 8- Visualización alrededor de la noción de límite de una función 1- Introducción 2- Visualización del concepto de límite 3- Visualización del límite uniforme 4- La condición de Cauchy 5- Visualización de la función de límite superior y límite inferior de una función. 9- Continuidad, continuidad uniforme y propiedades 1- La visión de continuidad 2- Algunas propiedades de las funciones continuas 3- Puntos fijos 4- Acotación y continuidad 5- Continuidad uniforme 6- Condición de Lipsschitz 10- Iteración de funciones. Caos matemático 1- Iteración de funciones 2- Funciones contractivas 3- Puntos fijos. Puntos periódicos 4- Caos matemático en las iteraciones de la función tienda 5- La ausencia de caos en la discretización finita. El eterno retorno 6- El satélite de una discretización 11- Visualización de la derivada 1- El concepto de derivada 2- Manejo de la derivada 3- Interpretación visual de algunas propiedades de la derivada. Rolles, Cauchy, Taylor 4- El sentido de la segunda derivada. Concavidad, convexidad, inflexión 12- Visualización de la integral 1- Área e integral 2- Propiedades de la integral 3- Integrales impropias 4- La aproximación numérica 5- Representación de una función como diferencia de dos funciones monótonas 13- Desigualdades 1- Estrategias para el manejo de desigualdades 2- Algunas desigualdades importantes 14- Discretización del análisis 1- El papel de la discretización 2- De la sucesión a la serie y vuelta atrás 3- Integral y derivada de una sucesión infinita 4- Integral y derivada de una sucesión finita de puntos 5- Discretización de una función cualquiera. Aproximación de la derivada e integral. Interpolación 6- Una mejor aproximación a la integral. Discretización con la regla del trapecio. 7- Una aplicación interesante. La representación de una función continua y derivable como diferencia de dos funciones decrecientes. 15- Experimentando la iteración de operadores sobres funciones continuas 1- Operadores 2- Iteraciones de algunos operadores funcionales 3- Iteración de operadores integrales de Picard, Volterra, Fredholm Índice analítico