Дифференциальные уравнения: практикум : учебное пособие для студентов учреждений высшего образования по математическим, физическим и экономическим специальностям

Description

Предисловие ВВЕДЕНИЕ I. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений 1. Дифференциальное уравнение. Порядок уравнения. Решения уравнения II. Простейшие уравнения 2. Простейшие дифференциальные уравнения. Общее и частное решения. Начальная и граничная задачи. Функция Грина 3. Уравнения с кусочно-непрерывной неоднородностью 4. Геометрические приложения простейших дифференциальных уравнений. Простейшие математические модели естественных процессов ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ III. Однородные уравнения 5. Линейные уравнения со стационарным оператором 6. Базис пространства решений IV. Неоднородные уравнения 7. Структура общего решения. Метод вариации произвольных постоянных 8. Функция Коши линейного оператора. Разрешение уравнений по правилу Коши 9. Уравнение с квазиполиномиальной неоднородностью. Правило Эйлера 10. Математические модели прикладных задач V. Фазовая плоскость однородного линейного уравнения второго порядка со стационарным оператором 11. Схема расположения фазовых графиков 12. Определение типа точки покоя VI. Устойчивость по Ляпунову линейных уравнений со стационарным оператором 13. Устойчивость в смысле Ляпунова 14. Асимптотическая устойчивость Контрольная работа № 1 Тестовые задания ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ VII. Методы интегрирования стационарных линейных векторных уравнений 15. Линейные векторные уравнения 16. Сведение линейной системы к совокупности независимых уравнений 17. Метод Д’Аламбера решения линейных векторных уравнений 18. Экспонентное представление решений. Метод Коши 19. Метод Эйлера интегрирования однородных линейных векторных уравнений 20. Метод Лагранжа интегрирования неоднородных линейных векторных уравнений VIII. Исследование стационарных линейных векторных уравнений 21. Устойчивость решений линейных векторных уравнений в смысле Ляпунова. Асимптотическая устойчивость 22. Фазовая плоскость однородного стационарного линейного векторного уравнения 23. Разные задачи Контрольная работа № 2 Тестовые задания ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ IX. Уравнения первого порядка в нормальной дифференциальной форме 24. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель 25. Уравнения с разделяющимися переменными 26. Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли 27. Однородные уравнения. Уравнения, приводящиеся к однородным 28. Случаи интегрируемости уравнения Риккати 29. Особые решения уравнений в нормальной дифференциальной форме 30. Составление математических моделей прикладных задач Контрольная работа № 3 X. Уравнения в общей форме 31. Приведение уравнений в общей форме к уравнениям в нормальной дифференциальной форме 32. Метод введения параметра 33. Уравнения Лагранжа и Клеро 34. Ортогональные и изогональные траектории 35. Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка Контрольная работа № 4 Тестовые задания ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ XI. Линейные уравнения с непрерывными коэффициентами 36. Понижение порядка уравнения с известным частным решением 37. Приведение линейного уравнения к стационарному 38. Уравнение Эйлера Контрольная работа № 5 Тестовые задания XII. Линейные уравнения с голоморфными коэффициентами 39. Голоморфные решения 40. Обобщенные степенные ряды. Уравнение Бесселя 41. Колеблемость решений уравнения второго порядка с непрерывными коэффициентами XIII. Дифференциальные системы с переменными коэффициентами 42. Дифференциальные системы в нормальной дифференциальной форме 43. Дифференциальные системы в симметрической форме 44. Функции Ляпунова и устойчивость XIV. Некоторые методы приближенного решения векторных уравнений 45. Метод Пикара 46. Метод ломаных Эйлера 47. Построение приближенного решения в виде ряда УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА XV. Линейные и квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка 48. Однородные линейные уравнения. Задача Коши 49. Квазилинейные уравнения с частными производными. Задача Коши XVI. Нелинейные уравнения с частными производными первого порядка 50. Уравнение Пфаффа 51. Метод Лагранжа Контрольная работа № 6 ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ Ответы Приложение. MathCad. Краткий справочник Литература