数理逻辑导引

Description

本书是作者在新加坡国立大学、北京大学和中国科学院大学为本科高年级学生开设的数理逻辑选修课和在新加坡国立大学、中国科学院数学与系统科学研究院为研究生开设的专业课程所写讲义基础上整理出来的结果。本书主要由一阶逻辑的核心内容和有关数的逻辑探索和分析两大部分组成，其中包括完备性、紧致性、同质缩小、型省略等基本定理；有关数的经典理论的完全性和可定义性分析；哥德尔不完全性定理、丘奇不可判定性定理、塔尔斯基自然数标准模型真相不可定义性定理以及巴黎-哈灵顿不完全性定理。 目录 《现代数学基础丛书》序 序言 第0章引言 第1章命题逻辑 1.1基本问题 1.2命题表达式 1.3逻辑赋值与可满足性 1.4布尔函数可表示性 1.5可证明性与一致性 1.6形式证明的几组例子 1.7完备性 1.8第一完备性证明 1.9命题逻辑紧致性 1.10命题范式 1.11命题逻辑与布尔代数 1.12练习 第2章一阶语言和一阶结构 2.1一组经典例子 2.2一阶语言 2.2.1符号 2.2.2项 2.2.3表达式 2.2.4自由变元和受囿变元 2.2.5替换与可替换性 2.3一阶结构 2.3.1项赋值 2.3.2满足关系 2.3.3局部确定性定理 2.3.4替换定理 2.3.5缩写表达式 2.4几个一阶语言和结构的例子 2.5数与数的集合 2.5.1自然数 2.5.2整数 2.5.3有理数 2.5.4实数 2.5.5复数 2.6练习 第3章一阶结构之同构、同样与同质 3.1预备知识：可数与不可数 3.2一阶结构之同构与同样 3.2.1有理数轴 3.2.2同构 3.2.3同样 3.3可定义性 3.3.1可定义性 3.3.2不变性 3.3.3实数轴区间定理 3.4同质子结构 3.4.1子结构、扩充结构与裁减结构 3.4.2结构元态与全息图 3.4.3同质子结构 3.4.4同质与同样 3.4.5塔尔斯基判定准则 3.4.6实数轴同质子轴 3.4.7同质缩小定理 3.4.8稠密线性序 3.4.9嵌入与同质嵌入 3.5练习 第4章逻辑推理与逻辑结论 4.1逻辑推理 4.1.1逻辑公理 4.1.2推理 4.2推理细致分析定理 4.2.1演绎定理 4.2.2全体化定理 4.2.3常元省略定理 4.2.4等式定理 4.3逻辑结论 4.3.1可满足性 4.3.2真实性与模型 4.3.3逻辑结论 4.3.4基本问题 4.3.5范例 4.4一阶逻辑系统之完备性 4.4.1可靠性定理 4.4.2哥德尔完备性定理 4.4.3极大一致性 4.4.4自显存在特性 4.4.5可满足性定理 4.4.6扩展定理 4.4.7节省常元方法 4.5*A－哥德尔完备性定理 4.5.1谓词符省略引理 4.5.2函数符省略引理 4.5.3无关符号忽略定理 4.5.4前束范式 4.6练习 第5章同质放大模型 5.1紧致性定理 5.1.1关于有限之概念 5.1.2关于秩序之概念 5.2同质放大定理 5.3第二紧致性定理 5.4超积和超幂 5.4.1超滤子存在定理 5.4.2超积与超幂 5.4.3超积基本定理 5.4.4超积构造六例 5.5同质放大链 5.6练习 第6章完全性与模型完全性 6.1完全性 6.1.1等势同构 6.1.2有理数区间代数理论 6.1.3可数广集模型 6.2量词消去 6.2.1完全性充分条件 6.2.2Todl适合量词消去 6.3子结构完全性 6.3.1Todl具备子结构完全性 6.3.2TdBA具备子结构完全性 6.4模型完全性 6.4.1量词简化 6.4.2模型完全性与Π2-理论 6.5练习 第7章可数模型 7.1类型排斥定理 7.1.1类型 7.1.2接纳与排斥 7.1.3例子 7.1.4根本型 7.1.5局部排斥型 7.1.6型排斥定理 7.2可数等势同构类型特征 7.2.1可数等势同构特征定理. 7.2.2可数模型的个数与Vaught猜想 7.3类型空间 7.3.1稳定性 7.3.2型与超滤子 7.4饱和模型 7.4.1有理数轴饱和性 7.4.2饱和结构 7.4.3可数饱和模型 7.4.4ω1-饱和结构 7.5基本模型 7.6极度自同构模型 7.6.1非刚性与无差别元集 7.6.2自然数集合划分定理 7.6.3无穷无差别元子集模型定理 7.6.4内置斯科伦函数与斯科伦闭包 7.7练习 第8章代数封闭域理论 8.1代数封闭域同构分类 8.2代数封闭域适合消去量词 8.3ACF子结构完全性 8.4代数封闭域饱和特性 8.5复数域与特征为素数的代数封闭域 8.6练习 第9章实封闭域理论 9.1实数域公理化 9.2实封闭域理论与有序实封闭域理论 9.3有序实封闭域理论适合消去量词 9.4实封闭域模型完全性 9.5半代数子集 9.6练习 第10章有理数加法算术理论 10.1有理数加法群理论 10.1.1公理刻画Tdag 10.1.2Tdag-完全性 10.1.3Tdag强极小性 10.1.4T1dag-理论 10.1.5序可定义性问题 10.2有理数有序加法群理论 10.2.1公理刻画Todag 10.2.2Todag-完全性 10.2.3Todag-序极小性 10.3练习 第11章整数加法算术理论 11.1多种整数加法算术理论 11.1.1六个结构 11.1.2三种公理化 11.2强整数加法群理论 11.2.1特征0模数同余加法群理论 11.2.2整数序不可定义性 11.3整数有序强加法群理论 11.3.1有序模数同余加法群理论 11.4普瑞斯柏格算术理论 11.4.1初等整数有序加法理论TI 11.4.2非标准模型Z0 11.4.3普瑞斯柏格算术理论Tpr 11.4.4Tpr之保守扩充 11.5练习 第12章自然数序理论与有序加法理论 12.1自然数序理论 12.1.1自然数序公理化 12.1.2半整齐模型 12.1.3自然数序之饱和模型 12.1.4自然数序理论完全性 12.2自然数有序加法理论 12.2.1有序强加法幺半群理论 12.2.2有序模数同余加法幺半群理论 12.2.3保守扩充T*oasg 12.3练习 第13章自然数算术理论 13.1初等数论 13.1.1初等数论之不完全性 13.1.2TN与自然数Σ1真相 13.1.3Σ1真相定理之形式证明 13.2哥德尔第一不完全性定理 13.2.1序列数 13.2.2符号数与表示数 13.2.3基本逻辑概念表示 13.2.4逻辑公理谓词 13.2.5可计算性与递归函数 13.2.6有效公理化与可判定性 13.2.7可表示性 13.2.8哥德尔不动点引理 13.2.9哥德尔第一不完全性定理 13.2.10不可判定性与真相不可定义性 13.3哥德尔第二不完全性定理 13.3.1依定义扩充 13.3.2皮阿诺算术理论递归扩充 13.3.3TPA递归扩充之Σ1-完全性 13.3.4PAf知道TPA之Σ1完全性 13.3.5一个不可被TPA所证明的Π1真语句 13.3.6形式化PAf之证明 13.4巴黎-哈灵顿划分原理之独立性 13.4.1自然数压缩写像划分原理 13.4.2拉姆齐有限划分定理 13.4.3皮阿诺算术模型中无差别元子集 13.4.4巴黎－哈灵顿划分原理独立于皮阿诺算术理论 13.5练习 索引 《现代数学基础丛书》已出版书目