Geometria plana y del espacio y Trigonometria

Description

Libro de Geometría plana y del espacio y trigonometría de J. Aurelio Baldor. Un clásico. Versión con tabla de contenido y mejorada. El libro está escrito para la enseñanza media, bachillerato, pero también es, esencialmente, una muy útil preparación para los vayan a estudiar la carrera de Matemáticas en la Universidad, pues está lleno de teoremas, con sus demostraciones. Los teoremas, las hipótesis, las tesis y las demostraciones, son una parte fundamental y esencia de toda la carrera de Matemáticas y de la manera de pensar y entender del matemático. Aunque el libro está hecho para todos los estudiantes de bachillerato y da una buena base en Geometría y Trigonometría para todos los estudiantes de carreras STEM, al estar lleno de teoremas con sus demostraciones, es particularmente bueno para el futuro estudiante de Matemáticas. Las matemáticas, para el matemático, tratan realmente de cómo funcionan las cosas por dentro (teoremas y demostraciones), mientras que para el resto es solo la aplicación de ese conocimiento. La diferencia es equivalente al que diseña y construye un automóvil y el que lo usa. El matemático es el que diseña y construye el automóvil, y sabe exactamente todo sobre su funcionamiento, el resto solo lo usa. Geometria y Trigonometria Prologo Indice Geometria plana Breve resena historica Babilonia Egipto Grecia Tales de Mileto Pitagoras de Samos Euclides Platon Arquimedes de Siracusa Apolonio de Perga Heron de Alejandria Geometrias no euclidianas 1 Generalidades 1. El metodo deductivo 2. axioma 3. Postulado 4. Teorema 5. Corolario 6. Teorema reciproco 7. Lema 8. Escolio 9. Problema 10. El punto 11. La linea 12. Cuerpos fisicos y cuerpos geometricos 13. Superficies 14. Semirecta 15. Segmento 16. Plano 17. Semiplano 18. Interseccion de planos 19. Poligonales concavas y convexas 20. Medida de segmentos 21. Error 22. Operaciones con segmentos 23. Igualdad y desigualdad de segmentos 24. Geometria 25 Teorema 1. En dos poligonales convexas, de extremos comunes, la envolvente es mayor que la envuelta Ejercicios 2 Angulos 26. Angulo 27. Medida de angulos 28. Relacion entre grado sexagesimal y el radian 29. Angulos asyacentes 30. Angulo recto 31. Angulo llano 32. Angulos complementarios 33. Complemento de un angulo 34. Angulos suplementarios 35. Suplemento de un angulo 36. Teorema 2. Dos angulos adyacentes son suplementarios 37. Angulos opuestos por el vertice 38. Teorema 3. Los angulos opuestos por el vertice son iguales 39. Angulos consecutivos 40. Teorema 4. Los angulos consecutivos formados a un lado de una recta suman 180 grados 41. Teorema 5. La suma de los angulos consecutivos alrededor de un punto, vale cuatro angulos rectos Ejercicios 3 Perpendicularidad y paralelismo. Rectas cortadas por una secante. Angulos que se forman 42. Definiciones 43. Caracter reciproco de la perpendicularidad 44. Postulado. Por un punto fuera de una recta, en un plano, pasa una perpendicular a dicha recta y solo una 45. Teorema 6. Si por un punto exterior a una recta trazamos una perpendicular y varias oblicuas se verifica 46. Reciproco Si por un punto exterior a una recta, se trazan varias rectas que corten a la primera se verifica 47. Distancia de un punto a una recta 48. Paralelismo 49. Teorema 7. Dos rectas de un plano, perpendiculares a una tercera, son paralelas entre si 50. Corolario. Por un punto exterior a una recta, pasa una paralela a dicha recta 51. Postulado de Euclides. Por un punto exterior a una recta, pasa una sola paralela a dicha recta 52. Corolario I. Dos rectas paralelas a una tercera, son paralelas entre si 53. Corolario II. Si una recta corta a otra, corta tambien a las paralelas de esta 54. Corolario III. Si una recta es perpendicular a otra, es tambien perpendicular a toda paralela a esa otra 55. Caracteres del paralelismo (Relacion de equivalencia) 56. Metodo de demostracion por reduccion al absurdo 57. Problemas graficos 58. Rectas cortadas por una secante 59. Angulos internos 60. Angulos externos 61. Angulos alternos 62. Angulos correspondientes 63. Angulos conjugados 64. Paralelas cortadas por una secante 65. Lema 66. Teorema 8. Toda secante forma con dos rectas paralelas angulos alternos internos iguales 67. Reciproco. Si una secante forma con dos rectas de un plano angulos alternos internos iguales, dichas rectas son paralelas 68. Teorema 9. Toda secante forma con dos paralelas angulos alternos externos iguales 69. Reciproco. Si una secante forma con dos rectas de un plano, angulos alternos externos iguales, dichas rectas son paralelas 70. Teorema 10. Dos angulos congujados internos, entre paralelas, son suplementarios 71. Reciproco. Si una secante forma con dos rectas de un plano angulos conjugados internos suplementarios, dichas rectas son paralelas 72. Teorema 11. Los angulos conjugados externos, entre paralelas, son suplementarios 73. Reciproco. Si una secante forma con dos rectas de un plano angulos congujados externos suplementarios, dichas rectas son paralelas Ejercicios 4 Angulos con lados paralelos o perpendiculares 74. Teorema 12. Dos angulos que tienen sus lados respectivamente paralelos y dirigidos en el mismo sentido son iguales 75. Teorema 13. Dos angulos que tienen sus lados respectivamente paralelos y dirigidos en sentido contrrio, son iguales 76. Teorema 14. Si dos angulos tienen sus lados respectivamente paralelos, dos de ellos dirigidos en el mismo sentido, y los otros dos en sentido contrario, dichos angulos son suplementarios 77. Teorema 15. Dos angulos agudos cuyos lados son respectivamente perpendiculares son iguales 78. Teorema 16. Dos angulos, uno agudo y otro obtuso, que tienen lados respectivamente perpendiculares son suplementarios 79. Teorema 17. Dos angulos obtusos que tienen sus lados respectivamente perpendiculares son iguales Ejercicios 5 Triangulos y generalidades 80. Triangulo 81. Clasificacion de los triangulos 82. Rectas y puntos notables en un triangulo 83. Teorema 18. La suma de los tres angulos interiores de un triangulo vale dos angulos rectos 84. Angulo exterior de un triangulo 85. Teorema 19. La suma de los agulos exteriores de un triangulo vale cuatro angulos rectos 86. Teorema 20. Todo angulo exterior de un triangulo es igual a la suma de los dos angulos interiores no adyacentes 87. Igualdad de triangulos (Congruencia de triangulos) 88. Propiedades de los triangulos Ejercicios 6 Casos de igualdad de triangulos (Congruencias) 89. Primer caso. Teorema 21. Dos triangulos son iguales si tienen un lado igual, y respectivamente iguales los angulos adyacentes a ese lado. ALA 90. Segundo caso. Teorema 22. Dos triangulos son iguales si tienen dos lados y el angulo comprendido entre ellos, respectivamente iguales. LAL 91. Tercer caso. Teorema 23. Dos triangulos son iguales si tienen sus tres lados iguales. LLL 92. Igualdad de triangulos rectangulos 1. La hipotenusa y un angulo agudo son iguales 2. Un cateto y un angulo agudo son iguales 3. Los dos catetos son iguales 4. La hipotenusa y un cateto son iguales 93. Aplicaciones de la igualdad de triangulos Ejercicios 7 Poligonos 94. Definiciones 95. Diagonal 96. Teorema 24. La suma de los angulos internos de un poligono convexo es igual a tantas veces dos angulos rectos, como lados menos dos tiene el poligono. A = (Lados - 2) * 180 97. Valor de un angulo interior de un poligono regular 98. Teorema 25. La suma de los angulos exteriores de todo poligono convexo es igual a cuatro angulos rectos 99. Valor de un angulo exterior de un poligono regular 100. Teorema 28. El numero de diagonales que pueden trazarse desde un vertice es igual al numero de lados menos tres 101. Teorema 27. Si n es el numero de lados del poligono, el numero total de diagonales D, que pueden trazarse desde todos los vertices esta dada por la formula D = n(n-3)/2 102. Teorema 28. Dos poligonos son iguales si pueden descomponerse en igual numero de triangulos respectivamente iguales y dispuestos del mismo modo 103. Reciproco. Si dos poligonos son iguales, se pueden descomponer en igual numero de triangulos respectivamente iguales e igualmente dispuestos Ejercicios 8 Cuadrilateros 104. Cuadrilatero 105. Lados opuestos 106. Lados consecutivos 107. Vertices y angulos opuestos 108. Suma de angulos interiores 109. Diagonales de un vertice 110. Numero total de diagonales 111. Clasificacion de los cuadrilateros 112. Clasificacion de los paralelogramos 1. Rectangulo 2. Cuadrado 3. Romboide 4. Rombo 113. Clasificacion y elementos de los trapecios 114. Clasificacion de los trapezoides 115. Propiedades de los paralelogramos Propiedades particulares del rectangulo Propiedades particulares del rombo Propiedades particulares del cuadrado 116. Teorema 29. Todo paralelogramo tiene iguales sus lados opuestos 117. Reciproco. Si cada par de lados opuestos de un cuadrilatero son iguales, tambien son paralelos y el cuadrilatero es un paralelogramo Ejercicios 9 Segmentos proporcionales 118. Repaso de las propiedades de las proporciones 119. Cuarta proporcional 120. Tercera proporcional 121. Media proporcional 122. Serie de razones iguales 123. Razones de dos segmentos 124. Segmentos proporcionales 125. Dividir un segmento en otros dos que esten en una razon dada 126. Teorema 30. Si varias paralelas determinan segmentos iguales en una de dos transversales, determinan tambien segmentos iguales en la otra transversal 127. Teorema 31. Teorema de Tales. Si varias paralelas cortan a dos transversales, determinan en ellas segmentos correspondientes proporcionales 128. Observacion 129. Teorema 32. Toda paralela a un lado de un triangulo divide a los otros dos lados en segmentos proporcionales 130. Reciproco. Si una recta al cortar a dos lados de un tri??ngulo, lo divide en segmentos proporcionales, dicha recta es paralela al tercer lado 131. Corolario. El segmento que une los puntos medios, de los lados de un triangulo, es paralelo al tercer lado e igual a su mitad 132. Teorema 33. Propiedad de la bisectriz de un angulo interior de un triangulo 133. Problema 134. Comprobacion 135. Problemas graficos sobre segmentos proporcionales 136. Dividir un segmento en partes proporcionales a varios numeros 137. Hallar la cuarta proporcional a tres segmentos dados 138. Hallar la tercera proporcional a dos segmentos dados Ejercicios 10 Semejanza de triangulos 139. Definicion 140. Lados homologos 141. Propiedades de la semejanza de triangulos 142. Razon de semejanza 143. Manera de establecer la proporcionalidad de los lados 144. Teorema 34. Teorema fundamental de existencia de triangulos semejantes Teorema reciproco. Todo triangulo semejante a otro es igual a uno de los triangulos que pueden obtenerse trazando una paralela a la base de este 145. Casos de semejanza de triangulos 146. Primer caso. Teorema 35. Dos triangulos son semejantes cuando tienen dos angulos respectivamente iguales 147. Segundo caso. Teorema 36. Dos triangulos son semejantes cuando tienen dos lados proporcionales e igual el angulo comprendido 148. Tercer caso. Teorema 37. Dos triangulos son semejantes cuando tienen proporcionales sus tres lados 149. Casos de semejanza de triangulos rectangulos 150. Proporcionalidad de las alturas de dos triangulos semejantes Ejercicios 11 Relaciones metricas en los triangulos 151. Proyecciones 152. Proyecciones de los lados de un triangulo 153. Teorema 38. Si en un triangulo rectangulo se traza la altura correspondiente a la hipotenusa se verifica 154. Teorema 39. Teorema de Pitagoras. En todo triangulo rectangulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos 155. Corolario 1. En todo triangulo rectangulo, la hipotenusa es igual a la raiz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos Corolario 2. En todo triangulo rectangulo, cada cateto es igual a la raiz cuadrada del cuadrado de la hipotenusa, menos el cuadrado del otro cateto 156. Teorema 40. Generalizacion del Teorema de Pitagoras (Cuadrado del lado opuesto a un angulo agudo en un triangulo) 157. Teorema 41. Cuadrado del lado opuesto a un angulo obtuso en un triangulo 158. Clasificacion de u triangulo conociendo los tres lados 159. Calculo de la proyeccion de un lado sobre otro 160. Calculo de la altura de un triangulo en funcion de los lados Ejercicios 12 Circunferencia y circulo 161. Definicion 162. Puntos interiores y puntos exteriores 163. Circulo 164. Circunferencias iguales 165. Arco de la circunferencia 166. Cuerda 167. Diametro 168. Posiciones de una recta y una circunferencia 169. Figuras en un circulo 170. Angulos centrales y arcos correspondientes 171. Igualdad de angulos y arcos 172. Desigualdad de angulos y arcos 173. Arcos consecutivos y suma y diferencia de arcos 174. Teorema 42. Propiedad del diametro. Un diametro divide a la circunferenci y al circulo en dos partes iguales 175. Semicircunferencias 176. Semicirculos 177. Teorema 43. El diametro es la mayor cuerda de la circunferencia 178. Teorema 44. Todo diametro perpendicular a una cuerda, divide esta y a los arcos subrendidos en partes iguales 179. Teorema 45. Relaciones entre las cuerdas y los arcos correspondientes. En una misma circunferencia, o en circunferencias iguales, a arcos iguales corresponden cuerdas iguales, y si dos arcos son desiguales (menores que una semicircunferencia) a mayor arco corresponde mayor cuerda 180. Teorema reciproco. En una circunferencia, o en circunferencias iguales, a cuerdas iguales corresponden arcos iguales, y si dos cuerdas son desiguales, a la mayor corresonde mayor arco 181. Teorema 46. Relaciones entre las cuerdas y sus distancias al centro. En una circunferencia, o en circunferencias iguales, cuerdas iguales equidistan del centro, y de dos cuerdas desiguales, la mayor dista menos del centro 182. Teorema reciproco. En una circunferencia o en circunferencias iguales las cuerdas equidistantes del centro son iguales, y de dos cuerdas que no equidistan del centro, la que menos dista es la mayor 183. Tangente a la circunferencia 184. Teorema 47. Propiedad de la tangente en el pun to de contacto. La tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de contacto 185. Teorema reciproco. Si una recta es perpendicular a un radio en su extremo, es tangente a la circunferencia Corolario. Por cada punto de una circunferencia pasa una tangente y solo una 186. Normal a una circunferencia 187. Teorema 48. Distancia en un punto a una circunferencia. La distancia minima de un punto a una circunferencia, es el menor de los dos segmentos de normal comprendidos entre el punto y la circunferencia 188. Posiciones relativas de dos circunferencias 189. Circunferencias exteriores 190. Circunferencias tangentes 191. Circunferencias secantes 192. Circunferencias tangentes interiormente 193. Circunferencias interiores 194. Circunferencias concentricas 195. Teorema 49. De lo dicho en los parrafos anteriores resulta: Dadas dos circunferencias situadas en un mismo plano, se verifica 196. Teorema reciproco. Si d es la distancia entre los centros de dos circunferencias de radios r y r', se verifica 197. Teorema 50. Los arcos de una circunferencia comprendidos entre paralelas, son iguales 13 Angulos en la circunferencia 198. Angulo central 199. Medida del angulo central 200. Angulo inscrito 201. Angulo semi-inscrito 202. Angulo ex-inscrito 203. Teorema 51. Medida de angulo inscrito. La medida de todo angulo inscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados 204. Corolario 1. Todos los angulos inscritos en el mismo arco, son iguales 205. Corolario 2. Todo angulo inscrito en una semicircunferencia (Fig. 179) es recto 206. Arco capaz de un angulo 207. Teorema 52. Medida de angulo semi-inscrito. La medida del angulo seini-inscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados 208. Teorema 53. Medida del angulo ex-inscrito. La medida del angulo ex-inscrito es igual a la semisuma de los arcos que tienen su origen en el vertice y sus extremos en uno de los lados y en la prolongacion del otro 209. Angulo interior 210. Angulo exterior 211. Teorema 54. Medida del angulo interior. La medida del angulo interior es igual a la semisuma de las medidas de los arcos comprendidos por sus lados y por sus prolongaciones 212. Teorema 55. Medida del angulo exterior. La medida del angulo exterior es igual a la semi-diferencia de las medidas de los arcos comprendidos por sus lados Ejercicios 14 Relaciones metricas en la circunferencia 213. Teorema 56. Relaciones entre las cuerdas. Si dos cuerdas de una circunferencia se cortan, el producto de los dos segmentos determinados en una cuerda es igual al producto de los dos segmentos determinados en la otra 214. Teorema 57. Relaciones entre secantes. Si por un punto exterior de una circunferencia se trazan dos secantes, el producto de una secante por su segmento exterior, es igual al producto de la otra secante por su segmento exterior 215. Teorema 58. Propiedad de la tangente y la secante trazadas desde un punto exterior a una circunferencia. Si por un punto exterior de una circunferencia se trazan una tangente y una secante, la tangente es media proporcional entre la secante y su segmento exterior 216. Division aurea 217. Calculo analitico del segmento aureo 218. Ejemplos 219. Division aurea en un segmento. Solucion grafica 220. Justificacion del metodo grafico Ejercicios 15 Relaciones metricas en los poligonos regulares 221. Poligonos regulares 222. Poligono inscrito 223. Circunfeencia circunscrita 224. Poligono circunscrito 225. Circunferencia inscrita 226. Radio de un poligono regular 227. Angulo central 228. Teorema 59. Si se divide una circunferencia en tres o mas arcos iguales, las cuerdas que unen los puntos sucesivos de division, formaran un poligono regular inscrito 229. Corolario. Si unimos el punto medio de cada uno de los arcos subtendidos por los lados de un poligono regular inscrito con los dos vertices mas proximos, se formara un poligono regular inscrito de doble numero de lados que el poligono dado 230. Teorema 60. Si se divide una circunferencia en tres o mas arcos iguales, las tangentes trazadas a la circunferencia por los puntos de division o por los puntos medios de dichos arcos, forman un poligono regular circunscrito 231. Teorema 61. Todo poligono regular puede ser inscrito en una circunferencia 232. Apotema 233. Calculo de la apotema en funcion del lado y el radio 234. Calculo del lado del poligono regular inscrito de doble numero de lados 235. Calculo del lado del poligono circunscrito 236. Aplicaciones 237. Calculo del lado del hexagono 238. Calculo del lado del triangulo equilatero 239. Lado del cuadrado 240. Teorema 62. Propiedad del lado del decagono regular. El lado del decagono regular inscrito en una circunferencia es igual al segmento aureo del radio 241. Calculo del lado del decagono regular inscrito en una circunferencia 242. Teorema 63. Propiedad del pentagono regular. El lado del pentagono regular inscrito en una circunferencia es igual a la hipotenusa de un triangulo rectangulo cuyos catetos son el lado del hexagono y el lado del decagono inscrito en dicha circunferencia 243. Calculo del lado del pentagono regular inscrito en una circunferencia 244. Calculo del lado del octagono regular inscrito en una circunferencia 245. Calculo del lado del dodecagono regular inscrito en una circunferencia 246. Resumen de las formulas de los poligonos regulares Ejercicios 16 Poligonos semejantes. Medidas de la circunferencia 247. Poligonos semejantes 248. Observacion importante 249. Teorema 64. "Dos poligonos regulares del mismo numero de lados son semejantes 250. Teorema 65. Relcion entre las apotemas, los radios y lo lados de los poligonos regulares del mismo numero de lados. La razon de los lados de dos poligonos regulares del mismo numero de lados es igual a la razon de sus radios y a la razon de sus apotemas 251. Corolario. La razon entre el perimetro de un poligono regular y el radio, o el diametro, de la circunferencia circunscrita, es constante para todos los poligonos regulares del mismo numero de lados 252. Teorema 66. En una circunferencia el perimetro de un poligono regular inscrito de 2n lados es mayor que el perimetro del poligono regular inscrito de n lados 253. Teorema 67. El perimetro de un poligono regular circunscrito de 2n lados, es menor que el perimetro del poligono regular de n lados, circunscrito a la misma circunferencia 254. Longitud de la circunferencia 255. Rlacion entre a apotema y el radio 256. Teorema 68. Proporcionalidad entre las longitudes de circunferencias y sus radios o diametros. La razon de las longitudes de dos circunferencias cualesquiera es igual a la razon de sus radios y de sus diametros 257. Corolario. La razon entre la longitud de una circunferencia y su diametro, es una cantidad constante 258. El numero PI 259. Corolario. La longitud de una circunferencia es igual al duplo de PI, multiplicado por el radio 260. Calculo de la longitud de una circunferencia 261. Longitud de un arco de circunferencia de n grados 262. Calculo de valores aproximados de PI 263. Metodo grafico para rectificar aproximadamente una circunferencia 264. Justificacion de la construccion anterior Ejercicios 17 Areas 265. Superficie 266. Area 267. Medida de una superficie 268. Suma y diferencia de areas 269. Figuras equivalentes 270. Caracteres de la equivalencia de figuras 271. Teorema 69. Area del rectangulo. Si dos rectangulos tienen igual base e igual altura, son iguales 272. Teorema 70. Si dos rectangulos tienen iguales las bases, sus areas son proporcionales a las alturas 273. Teorema 71. Si dos rectangulos tienen las alturas iguales, sus areas son proporcionales a las bases 274. Teorema 72. Las areas de dos rectangulos son proporcionales a los productos de sus bases por sus alturas 275. Teorema 73. El area de un rectangulo es igual al producto de su base por su altura 276. Corolario. El area del cuadrado es igual al cuadrado del lado 277. Teorema 74. Area del paralelogramo. El area de un paraIdogramo es igual al producto de su base por su altura 278. Teorema 75. Area del triangulo. El area de un triangulo es igual a la mitad del producto de su base por su altura 279. Corolario 1. Las areas de dos triangulos son proporcionales a los productos de las bases por las alturas 280. Corolario 2. Las areas de dos triangulos cuyas bases son iguales, son proporcionales a sus alturas y si las alturas son iguales, son proporcionales a las bases 281. Corolario 3. Si dos triangulos tienen igual base e igual altura son equivalentes 282. Teorema 76. Si dos triangulos tienen un angulo igual, sus areas son proporcionales a los productos de los lados que forman dicho angulo 283. Teorema 77. Si dos triangulos son semejantes, sus areas son proporcionales a los cuadrados de sus lados homologos 284. Teorema 78. Area del triangulo en funcion de sus lados. Formula de Heron. El area de un triangulo en terminos de sus lados a b c, y su perimetro p 285. Teorema 79. Area de un triangulo equilatero en funcion del lado 286. Teorema 80. Area del triangulo en funcion de sus lados y del radio de la circunferencia inscrita. El area de un triangulo es igual al producto de su semiperimetro por el radio de la circunferencia inscrita 287. Teorema 81. Area del triangulo en funcion de sus lados y del radio de la circunferencia circunscrita. El area de un triangulo es igual al producto de sus lados divididos por el cuadruplo del radio de la circunferencia circunscrita 288. Teorema 82. Area del rombo. El area del rombo es igual a la mitad del producto de sus diagonales 289. Corolario. El area de un cuadrado es igual a la mitad del cuadrado de la diagonal 290. Teorema 83. Area del trapecio. El area de un trapecio es igual a la semisuma de sus bases multiplicada por su altura 291. Teorema 84. Area de un poligono regular. El area de un poligono regular es igual al producto de su semiperimetro por su apotem 292. Teorema 85. El area de un circulo es igual al producto de PI por el cuadrado del radio 293. Corolario 294. Teorema 86 295. Teorema 87 296. Corolario 297. Sectores circulares semejantes 298. Teorema 88 299. Teorema 89 300. Corolario. Las areas de dos circulos son proporcionales a los cuadrados de sus radios o a los cuadrados de sus diametros 301. Area del segmento circular Ejercicios 18 Rectas y planos 302. Determinacion del plano 303. Posiciones de dos planos 304. Posiciones de una recta y un plano 305. Posiciones de dos rectas en el espacio 306. Teorema 90. Las intersecciones a y b de dos planos paralelos alfa y beta con un tercer plano gamma son rectas paralelas 307. Teorema 91. Si dos rectas a y b son paralelas, todo plano alfa que pase por una de ellas b es paralelo a la otra 308. Corolario. Si una recta AB es paralela a un plano alfa la intersecccion MN del plano alfa con otro cualquiera que pase por la recta es paralela a la recta 309. Teorema 92. Si dos rectas a y b que se cortan son paralelas a un plano alfa, el plano que ellas determinan es tambien paralelo al plano 310. Teorema 93. Si un plano alfa corta a una de dos rectas a y b paralelas corta tambien a la otra Corolarios: 1. Si una recta corta a uno de dos planos paralelos, corta tambien al otro. 2. Si un plano corta a uno de dos planos paralelos corta tambien al otro. 3. Si dos planos son paralelos a un mismo plano son paralelos entre si 311. Teorema 94Dos rectas b y c paralelas a una tercera a son paralelas entre si 312. Teorema 95. Si dos angulos