Wahrscheinlichkeitstheorie

Description

Dieses fest etablierte Standardwerk liefert eine umfassende und moderne Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und ihre maßtheoretischen Grundlagen. Es kann sowohl im Rahmen entsprechender Lehrveranstaltungen als auch zum späteren Nachschlagen speziellerer Sachverhalte verwendet werden. Themenschwerpunkte sind: Maß- und Integrationstheorie, Grenzwertsätze für Summen von Zufallsvariablen (Gesetze der großen Zahl, zentraler Grenzwertsatz, Ergodensätze, Gesetz vom iterierten Logarithmus, Invarianzprinzipien, unbegrenzt teilbare Verteilungen), Martingale, Perkolation, Markovketten und elektrische Netzwerke, Konstruktion stochastischer Prozesse, Poisson'scher Punktprozess, Brown'sche Bewegung, stochastisches Integral und stochastische Differentialgleichungen. Neu in der vierten Auflage sind kurze Zusammenfassungen an den Enden der einzelnen Abschnitte sowie Denkanstöße im Text, die Verständnisfragen stellen, auf andere Zugänge hinweisen oder Ausblicke geben. Ähnlich wie Chilischoten in manchen Speisekarten den Schärfegrad eines Gerichts angeben, sind die Denkanstöße mit unterschiedlich vielen Symbolen gekennzeichnet. Außerdem sind einige neue Illustrationen und Übungsaufgaben hinzugekommen. Vorwort zur vierten Auflage Vorwort zur dritten Auflage Vorwort zur zweiten Auflage Vorwort zur ersten Auflage Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen der Maßtheorie 1.1 Mengensysteme 1.2 Mengenfunktionen 1.3 Fortsetzung von Maßen 1.4 Messbare Abbildungen 1.5 Zufallsvariablen 2 Unabhängigkeit 2.1 Unabhängigkeit von Ereignissen 2.2 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen 2.3 Kolmogorov’sches 0-1 Gesetz 2.4 Beispiel: Perkolation 3 Erzeugendenfunktion 3.1 Definition und Beispiele 3.2 Poisson-Approximation 3.3 Verzweigungsprozesse 4 Das Integral 4.1 Konstruktion und einfache Eigenschaften 4.2 Monotone Konvergenz und Lemma von Fatou 4.3 Lebesgue-Integral versus Riemann-Integral 5 Momente und Gesetze der großen Zahl 5.1 Momente 5.2 Schwaches Gesetz der großen Zahl 5.3 Starkes Gesetz der großen Zahl 5.4 Konvergenzrate im starken GGZ 5.5 Der Poissonprozess 6 Konvergenzsätze 6.1 Fast-überall- und stochastische Konvergenz 6.2 Gleichgradige Integrierbarkeit 6.3 Vertauschung von Integral und Ableitung 7 Lp-Räume und Satz von Radon-Nikodym 7.1 Definitionen 7.2 Ungleichungen und Satz von Fischer-Riesz 7.3 Hilberträume 7.4 Lebesgue’scher Zerlegungssatz 7.5 Ergänzung: Signierte Maße 7.6 Ergänzung: Dualräume 8 Bedingte Erwartungen 8.1 Elementare bedingte Wahrscheinlichkeiten 8.2 Bedingte Erwartungen 8.3 Reguläre Version der bedingten Verteilung 9 Martingale 9.1 Prozesse, Filtrationen, Stoppzeiten 9.2 Martingale 9.3 Diskretes stochastisches Integral 9.4 Diskreter Martingaldarstellungssatz und CRR Modell 10 Optional Sampling Sätze 10.1 Doob-Zerlegung und quadratische Variation 10.2 Optional Sampling und Optional Stopping 10.3 Gleichgradige Integrierbarkeit und Optional Sampling 11 Martingalkonvergenzsätze und Anwendungen 11.1 Die Doob’sche Ungleichung 11.2 Martingalkonvergenzsätze 11.3 Beispiel: Verzweigungsprozess 12 Rückwärtsmartingale und Austauschbarkeit 12.1 Austauschbare Familien von Zufallsvariablen 12.2 Rückwärtsmartingale 12.3 Satz von de Finetti 13 Konvergenz von Maßen 13.1 Wiederholung Topologie 13.2 Schwache und vage Konvergenz 13.3 Der Satz von Prohorov 13.4 Anwendung: Satz von de Finetti – anders angeschaut 14 W-Maße auf Produkträumen 14.1 Produkträume 14.2 Endliche Produkte und Übergangskerne 14.3 Satz von Ionescu-Tulcea und projektive Familien 14.4 Markov’sche Halbgruppen 15 Charakteristische Funktion und zentraler Grenzwertsatz 15.1 Trennende Funktionenklassen 15.2 Charakteristische Funktionen: Beispiele 15.3 Der Lévy’sche Stetigkeitssatz 15.4 Charakteristische Funktion und Momente 15.5 Der zentrale Grenzwertsatz 15.6 Mehrdimensionaler zentraler Grenzwertsatz 16 Unbegrenzt teilbare Verteilungen 16.1 Die Lévy-Khinchin Formel 16.2 Stabile Verteilungen 17 Markovketten 17.1 Begriffsbildung und Konstruktion 17.2 Diskrete Markovketten, Beispiele 17.3 Diskrete Markovprozesse in stetiger Zeit 17.4 Diskrete Markovketten, Rekurrenz und Transienz 17.5 Anwendung: Rekurrenz und Transienz von Irrfahrten 17.6 Invariante Verteilungen 17.7 Anwendung: Stochastische Ordnung und Kopplung 18 Konvergenz von Markovketten 18.1 Periodizität von Markovketten 18.2 Kopplung und Konvergenzsatz 18.3 Markovketten Monte Carlo Methode 18.4 Konvergenzgeschwindigkeit 19 Markovketten und elektrische Netzwerke 19.1 Harmonische Funktionen 19.2 Reversible Markovketten 19.3 Endliche elektrische Netzwerke 19.4 Rekurrenz und Transienz 19.5 Netzwerkreduktion 19.6 Irrfahrt in zufälliger Umgebung 20 Ergodentheorie 20.1 Begriffsbildung 20.2 Ergodensätze 20.3 Beispiele 20.4 Anwendung: Rekurrenz von Irrfahrten 20.5 Mischung 20.6 Entropie 21 Die Brown’sche Bewegung 21.1 Stetige Modifikationen 21.2 Konstruktion und Pfadeigenschaften 21.3 Starke Markoveigenschaft 21.4 Ergänzung: Feller Prozesse 21.5 Konstruktion durch L2-Approximation 21.6 Der Raum C([0,∞)) 21.7 Konvergenz von W-Maßen auf C([0,∞)) 21.8 Satz von Donsker 21.9 Pfadweise Konvergenz von Verzweigungsprozessen 21.10 Quadratische Variation und lokale Martingale 22 Gesetz vom iterierten Logarithmus 22.1 Iterierter Logarithmus für die Brown’sche Bewegung 22.2 Skorohod’scher Einbettungssatz 22.3 Satz von Hartman-Wintner 23 Große Abweichungen 23.1 Satz von Cramér 23.2 Prinzip der großen Abweichungen 23.3 Satz von Sanov 23.4 Varadhan’sches Lemma und freie Energie 24 Der Poisson’sche Punktprozess 24.1 Zufällige Maße 24.2 Eigenschaften des Poisson’schen Punktprozesses 24.3 Die Poisson-Dirichlet-Verteilung 25 Das Itô-Integral 25.1 Das Itô-Integral bezüglich der Brown’schen Bewegung 25.2 Itô-Integral bezüglich Diffusionen 25.3 Die Itô-Formel 25.4 Dirichlet-Problem und Brown’sche Bewegung 25.5 Rekurrenz und Transienz der Brown’schen Bewegung 26 Stochastische Differentialgleichungen 26.1 Starke Lösungen 26.2 Schwache Lösungen und Martingalproblem 26.3 Eindeutigkeit schwacher Lösungen via Dualität Literatur Notation Glossar englischer Ausdrücke Namensregister Sachregister