Элементарная алгебра. Пособие для самообразования

Description

Книга написана так, что по ней можно изучать предмет без преподавателя. Кроме курса алгебры и теории тригонометрических функций, в книге изложены сведения о производной, дифференциале, интеграле, элементарной теории множеств, позиционной системе счисления, даны расширение понятия числа и краткие сведения о возникновении и развитии математических наук. Имеются примеры и задачи как решенные, так и предназначенные для упражнений. Настоящее третье издание дополнено начальными сведениями из теории вероятностей. Предисловие ...4 Учащимся о математике ...5 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ...24 Глава I. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА ...24 §1. Возникновение положительных и отрицательных чисел ...24 §2. Числовая ось ...27 §3. Противоположные числа ...29 §4. Абсолютная величина числа ...29 §5. Сложение положительных и отрицательных чисел ...30 §6. Вычитание ...33 §7. Умножение ...36 §8. Деление ...40 §9. Особенности чисел 0 и 1 ...41 §10. Понятия «больше» и «меньше» применительно к положительным и отрицательным числам ...42 Глава II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ...46 §1. Употребление букв для обозначения чисел ...46 §2. Степень ...50 §3. Коэффициент ...51 §4. Алгебраическое выражение и его числовое значение ...53 §5. Допустимые значения букв ...54 §6. Краткое название и полная словесная формулировка алгебраического выражения ...55 §7. Алгебраическая сумма ...57 §8. Одночлены и многочлены ...59 §9. Формулы ...60 §10. Предложения, связанные с понятием абсолютной величины ...62 Глава III. ДЕЙСТВИЯ НАД АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ВЫРАЖЕНИЯМИ И ПРАВИЛА ПРОСТЕЙШИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ...69 §1. Понятие о действиях над алгебраическими (буквенными) выражениями ...69 §2. Понятие о преобразовании алгебраического выражения ...70 §3. Подобные одночлены и их приведение ...72 §4. Сложение, вычитание и умножение одночленов ...74 §5. Сложение, вычитание и умножение многочленов ...75 §6. Раскрытие скобок и заключение в скобки ...79 §7. Преобразования квадрата суммы и квадрата разности ...81 §8. Решение задач с помощью преобразований ...82 §9. Простейший способ решения уравнений ...90 Глава IV. ПОСЛЕДУЮЩИЕ ПРАВИЛА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И ПОНЯТИЕ О ТОЖДЕСТВЕ ...96 §1. Действия над степенями ...96 §2. Основные формулы умножения ...98 §3. Тождества и тождественные преобразования ...101 §4. Деление степеней и одночленов ...104 §5. Наибольший общий делитель ...105 §6. Деление многочлена на одночлен ...106 §7. Разложение многочлена на множители ...107 Глава V. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ ...114 §1. Первоначальные понятия и положения ...114 §2. Наименьшее общее кратное ...117 §3. Сложение и вычитание дробей ...119 §4. Умножение и деление дробей ...123 §5. Упрощение дроби, числитель и знаменатель которой являются алгебраическими суммами дробей ...124 §6. Общее преобразование рациональных выражений ...125 §7. О символах а0 и а-n ...126 Глава VI. ПРОПОРЦИИ. РЯД РАВНЫХ ОТНОШЕНИЙ ...131 §1. Пропорции ...131 §2. Производные пропорции ...132 §3. Определение неизвестного члена пропорции ...134 §4. Ряд равных отношений ...135 Глава VII. ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ...137 §1. Прямая пропорциональность ...137 §2. Обратная пропорциональность ...140 §3. Пропорциональное деление ...142 §4. Пропорциональность квадрату или кубу ...143 Глава VIII. НАЧАЛА ТЕОРИИ УРАВНЕНИЙ ...146 §1. Уравнение как математическое выражение условия задачи ...146 §2. Общие понятия ...147 §3. Классификация уравнений ...150 §4. Равносильные уравнения ...152 Глава IX. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ ...159 §1. Показ на примерах ...159 §2. Правило решения уравнений первой степени с одним неизвестным ...162 §3. Особые случаи уравнений с числовыми коэффициентами ...163 §4. Дробные уравнения* ...164 §5. Уравнения, у которых правая часть есть нуль, а левая — произведение выражений, зависящих от неизвестного ...167 §6. Уравнения, у которых левая и правая части представляют собой произведения, имеющие общий множитель, зависящий от неизвестного ...167 Глава X. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ...170 §1. Система уравнений как математическое выражение нескольких условий задачи ...170 §2. Одно уравнение с двумя неизвестными ...173 §3. Одно уравнение с тремя неизвестными ...174 §4. Способы решения линейной системы двух уравнений с двумя неизвестными, заданной в нормальной форме ...175 §5. Дополнение к вопросу о решении системы ...178 §6. Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными, заданной в нормальной форме ...179 §7. Система уравнений, решение которых удобно выполнять с помощью искусственных приемов ...180 §8. Решение системы двух линейных уравнений с помощью определителей ...184 §9. Решение системы трех линейных уравнений с помощью определителей ...187 Глава XI. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПРИ ПОМОЩИ УРАВНЕНИЙ ...191 §1. Общие сведения ...191 §2. Решение задач при помощи одного уравнения с одним неизвестным ...194 §3. Решение задач при помощи систем уравнений ...196 §4. Дополнительные задачи на составление уравнений ...197 Глава XII. АРИФМЕТИЧЕСКИЙ КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ И НЕСОИЗМЕРИМЫЕ ОТРЕЗКИ ...205 §1. Арифметический квадратный корень ...205 §2. Теорема о квадратном корне из двух ...212 §3. Несоизмеримые отрезки ...213 §4. Теорема о существовании несоизмеримых отрезков ...214 §5. О длине отрезка, несоизмеримого с отрезком, принятым за единицу длины ...215 Глава XIII. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ...217 §1. Некоторые предварительные замечания ...217 §2. Рациональная числовая область ...218 §3. Конечные и бесконечные десятичные дроби ...218 §4. О возможности изображения всякого рационального числа в виде бесконечной десятичной дроби ...219 §5. Основная теорема о рациональных числах ...219 §6. Рациональные точки числовой оси ...220 Глава XIV. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ...221 §1. О необходимости расширения рациональной числовой области ...221 §2. Существование на числовом оси точек, не являющихся рациональными ...222 §3. Понятие об иррациональном числе ...223 §4. Сравнение иррациональных чисел ...229 §5. Сложение и умножение иррациональных чисел ...230 Глава XV. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ КОРНИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ ...234 §1. Первоначальные сведения о корнях ...234 §2. Основное свойство арифметического корня ...236 §3. Действия над арифметическими корнями ...238 §4. Некоторые важные преобразования ...240 §5. Нормальный вид корня ...243 §6. Подобные корни и их приведение ...244 §7. Преобразование сложного корня ...245 §8. О возможности нахождения арифметического корня с любой степенью точности ...246 Глава XVI. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ...253 §1. Возникновение квадратного уравнения из практической задачи ...253 §2. Полные и неполные квадратные уравнения ...255 §3. Приведенное квадратное уравнение ...257 §4. Вывод формулы корней общего квадратного уравнения ...260 §5. Примеры задач, приводимых к квадратному уравнению ...263 §6. Выделение полного квадрата из многочлена 2-й степени ...267 §7. Свойства корней квадратного уравнения * ...269 §8. Корень многочлена ...270 §9. Разложение на множители многочлена ax2+bx+c ...271 §10. Составление квадратного уравнения по его корням ...272 §11. Условие, при котором трехчлен Ах2+Bх+С представляет точный квадрат линейной функции ...273 §12. Наименьшее или наибольшее значение квадратной функции ...273 §13. Понятие о кратных корнях ...274 Глава XVII. УРАВНЕНИЯ С ЧИСЛОВЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ, ПРИВОДИМЫЕ К КВАДРАТНЫМ* ...277 §1. Биквадратное уравнение ...277 §2. Уравнения, являющиеся квадратными относительно выражения, содержащего неизвестное ...278 §3. Возвратные уравнения 3-й и 4-й степени ...279 Глава XVIII. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ...282 §1. Основные сведения ...282 §2. Иррациональные уравнения, содержащие только один радикал ...284 §3. Уравнения, содержащие два квадратных радикала ...285 §4. Искусственные приемы решения иррациональных уравнений ...286 §5. Способ решения иррационального уравнения с помощью системы рациональных уравнений * ...288 Глава XIX. ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ ...291 §1. Переменные величины ...291 §2. Функция одного аргумента ...292 §3. Графическое изображение функции одного аргумента ...295 §4. Прямоугольная система координат на плоскости ...297 §5. Примеры построения графиков функций ...300 §6. Графики функций у=ах и у=ах+b ...306 §7. График функции y=a/b ...307 §8. Уравнение равномерного движения ...308 §9. График равномерного движения ...309 §10. График движения поездов ...310 §11. График многочлена 2-й степени y=ах2+bх+c (а?0) ...312 §12. Способы задания функции ...316 §13. Функциональный знак ...319 §14. Понятие о чётных и нечётных функциях ...319 §15. Понятие о промежутках* возрастания и убывания функции одного аргумента ...321 §16. Дополнительное разъяснение о способах задания функции ...323 §17. Графический способ отыскания приближенных значений корней уравнения ...327 §18. Понятие о геометрическом образе (графике) уравнения ...329 §19. Геометрическое истолкование решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными ...331 Глава XX. АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ И ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВЫШЕ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ ...333 §1. Общие замечания ...333 §2. Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными, содержащей одно уравнение первой степени и одно — второй степени ...334 §3. Системы двух уравнений, в которых оба уравнения второй степени ...336 §4. Графический способ решения систем уравнений с двумя неизвестными ...340 §5. Отыскание точек пересечения простейших линий алгебраическим способом ...344 §6. Системы трех уравнений с тремя неизвестными ...351 ЧАСТЬ ВТОРАЯ ...357 Глава XXI. НЕРАВЕНСТВА ...357 §1. Основные положения ...357 §2. Доказательство неравенств ...359 §3. Неравенства с одним неизвестным ...363 §4. Решение неравенств первой степени с одним неизвестным ...364 §5. Решение систем неравенств первой степени ...365 §6. Решение неравенств второй степени ...369 §7. Примеры на неравенства второй степени ...374 Глава XXII. ПРЕДЕЛЫ ...380 §1. Задачи, приводящие к возникновению понятия предела ...380 §2. Определение понятия предела ...386 §3. Различные типы стремления к пределу ...388 §4. Признак вейерштрасса ...389 §5. Бесконечно малые ...391 §6. Свойства бесконечно малых ...392 §7. Свойства пределов ...393 §8. Бесконечно большие ...395 §9. Примеры вычисления пределов ...396 § 10. Теоремы о lim An (n->+00) при A>1 и lim qn при |q|+00) ...399 Глава XXIII. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ...403 §1. Примеры и определения ...403 §2. Арифметическая прогрессия ...405 §3. Геометрическая прогрессия ...409 §4. Понятие предела последовательности чисел ...415 Глава XXIV. РЯДЫ СХОДЯЩИЕСЯ И РАСХОДЯЩИЕСЯ ...417 §1. Задачи, приводящие к возникновению понятия ряда ...417 §2. Понятие ряда ...418 §3. Примеры вычисления сумм сходящихся рядов ...419 §4. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма ...420 §5. Примеры расходящихся рядов ...423 Глава XXV. ОБОБЩЕННАЯ СТЕПЕНЬ, ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ...425 §1. Обобщенная степень ...425 §2. Измерение одночлена и однородные многочлены ...428 §3. Показательная функция ...429 §4. Показательные уравнения ...433 Глава XXVI. ЛОГАРИФМЫ ...438 §1. Понятие логарифма ...438 §2. Общие свойства логарифмов ...442 §3. Основные теоремы ...442 §4. Логарифмирование произведения, частного, степени и корня ...444 §5. Практическое значение логарифмов ...445 §6. Свойства десятичных логарифмов * ...446 §7. Таблица четырехзначных десятичных логарифмов Брадиса ...450 §8. Таблица четырехзначных антилогарифмов ...453 §9. Примеры вычислений с помощью таблиц логарифмов ...454 §10. Переход от натуральных логарифмов к десятичным и обратный переход ...455 §11. Некоторые употребительные формулы ...456 §12. Потенцирование ...457 §13. Логарифмические уравнения ...458 §14. Графики логарифмических функций ...463 Глава XXVII. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПРОИЗВОЛЬНОГО УГЛА И ПЕРВЫЕ ТРИ ГРУППЫ ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ ...468 §1. Обобщение понятия угла ...468 §2. Синус ...469 §3. Таблица* значений sin а с точностью до 0,001 для углов от 1 до 89° ...472 §4. Косинус ...474 §5. Тангенс ...476 §6. Функции углов 30°, 60° и 45° ...478 §7. Радианное измерение углов ...479 §8. Тригонометрические функции отвлеченного числа ...481 §9. Первые три группы формул ...482 Глава XXVIII. ПОСЛЕДУЮЩИЕ ГРУППЫ ОСНОВНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ ...490 §1. Формулы сложения (четвертая группа) ...490 §2. Формулы умножения (пятая группа) ...495 §3. Формулы деления (шестая группа) ...497 §4. Формулы, выражающие тригонометрические функции угла через тангенс половинного угла (седьмая группа) ...499 §5. формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение (восьмая группа) ...500 §6. Формулы преобразования произведений тригонометрических функций (девятая группа) ...501 §7. Периодичность тригонометрических функций и их графики ...509 §8. Тригонометрические уравнения ...512 §9. О косекансе, секансе и котангенсе ...527 §10. Простое гармоническое колебание ...528 Глава XXIX. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ* ...534 §1. Общее определение ...534 §2. Свойства однозначных обратных тригонометрических функций ...535 §3. Выражения многозначных обратных тригонометрических функций ...539 §4. О знаках математических действий ...539 §5. Примеры преобразовании и вычислений, связанных с однозначными обратными тригонометрическими функциями ...541 §6. Взаимно обратные функции и связь между их графиками ...547 Глава XXX. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ...551 §1. Задачи, приводящие к возникновению выражений вида а+bv-1 ...551 §2. Алгебраическая форма комплексного числа ...552 §3. Основные понятия ...553 §4. Четыре действия над комплексными числами в алгебраической форме ...555 §5. Комплексные числа как аффиксы точек ...556 §6. Векторы на плоскости как изображения комплексных чисел ...557 §7. Модуль и аргумент комплексного числа ...558 §8. Выражение модуля и аргумента комплексного числа в зависимости от составляющих и выражение составляющих в зависимости от модуля и аргумента ...562 §9. Тригонометрическая форма комплексного числа ...562 §10. Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме ...563 §11. Возведение в степень ...564 §12. Общее определение корня и извлечение корня из комплексного числа ...565 §13. Соответствие между сложением и вычитанием комплексных чисел и векторов ...570 §14. Задачи ...573 §15. Комплексные числа как изображения физических величин ...575 Глава XXXI. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ РАСПОЛОЖЕННЫХ МНОГОЧЛЕНОВ ...582 §1. Многочлен n-й степени ...582 §2. Умножение расположенных многочленов ...584 §3. Деление расположенных многочленов ...585 §4. Нахождение наибольшего общего делителя многочленов с помощью их разложения на неприводимые множители ...591 §5. Алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух многочленов ...592 §6. Выделение целой части неправильной рациональной дроби ...596 Глава XXXII. ТЕОРЕМА БЕЗУ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ ...598 §1. Иллюстрация теоремы Безу на примерах ...598 §2. Формулировка и доказательство теоремы Безу ...599 §3. Применения теоремы Безу ...601 Глава XXXIII. ТЕОРЕМА ГАУССА И СВОЙСТВА ЦЕЛОЙ РАЦИОНАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ ...605 §1. Теорема Гаусса * ...605 §2. Свойства целой рациональной функции ...606 §3. Примеры разложения целой рациональной функции с действительными коэффициентами степени выше второй на действительные неприводимые множители ...608 §4. Формулы Виета ...612 Глава XXXIV. УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ ...616 §1. Биквадратное уравнение ...616 §2. Возвратное уравнение 4-й степени ...617 §3. Двучленные уравнения ...618 §4. Трехчленные уравнения ...623 §5. Целое алгебраическое уравнение ...623 §6. Отыскание рациональных корней целого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами ...624 §7. О решении уравнений 3-й и 4-й степени ...628 Глава XXXV. НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ, РЕШАЕМЫЕ ИСКУССТВЕННЫМ ПУТЕМ ...631 Глава XXXVI. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ ...635 §1. Теоретические сведения ...635 §2. Применение метода математической индукции ...637 §3. Неравенство Коши ...640 Глава XXXVII. СОЕДИНЕНИЯ (КОМБИНАТОРИКА*) ...646 §1. Размещения ...646 §2. Перестановки ...650 §3. Сочетания ...651 §4. Соединения с повторениями ...654 Глава XXXVIII. БИНОМ НЬЮТОНА* ...663 §1. Вывод формулы бинома Ньютона ...663 §2. Свойства разложения бинома ...664 §3. Свойства биномиальных коэффициентов ...665 §4. Арифметический треугольник, или треугольник Паскаля ...667 §5. Примеры на бином Ньютона ...668 Глава XXXIX. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ...670 §1. Вероятность события ...670 §2. Теорема сложения вероятностей несовместных событий ...673 §3. Теорема умножения вероятностей независимых событий ...676 §4. Теорема умножения вероятностей зависимых событий ...677 §5. Вероятность повторения события ...679 §6. Геометрические вероятности ...682 §7. Понятие о случайных величинах ...689 Глава XL. ЧИСЛО е И ЕГО ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕНЕНИЯ ...691 §1. Возникновение числа е ...691 §2. Простейшие применения числа е ...694 §3. Формула Эйлера ebi = cos b + i sin b ...698 §4. Следствия из формулы Эйлера ...699 Глава XLI. ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЁ ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕНЕНИЯ И ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ...702 §1. Производная ...702 §2. Общие правила составления производных ...706 §3. Производная сложной функции и техника дифференцирования ...709 §4. Механическая интерпретация производной ...712 §5. Геометрическая интерпретация производной ...714 §6. О выражениях f'(а) и [f(а)]' ...717 §7. Максимум и минимум функции ...718 §8. Примеры исследования функций на экстремум ...720 §9. Задачи на максимум и минимум ...722 §10. Вывод формул с помощью дифференцирования ...725 §11. Непрерывность функции ...728 §12 Дифференциал ...737 §13. Инвариантность* формулы дифференциала ...739 Глава XLII. ИНТЕГРАЛ ...740 §1. Неопределенный интеграл ...740 §2. Интегральная сумма ...743 §3. Определенный интеграл и его связь с неопределенным интегралом ...745 §4. Вычисление площадей с помощью интегрирования ...747 §5. Вычисление объемов с помощью интегрирования ...749 Глава XLIII. НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ ...754 §1. Множества и эквивалентные множества ...754 §2. Счетные множества и множества мощности континуума* ...756 §3. О сравнении мощностей бесконечных множеств ...757 ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ ...759 ОБ УСЛОВИЯХ НЕОБХОДИМЫХ И ДОСТАТОЧНЫХ ...778 КРАТКИЕ ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ...790 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ ...819 О РЕШЕНИЯХ ВОСЬМИ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В РАЗДЕЛЕ «УЧАЩИМСЯ О МАТЕМАТИКЕ» ...855 Оглавление ...856