Основы теории функции комплексной переменной. Операционное исчисление

Description

Рассмотрены основы теории функций комплексной переменной (комплексные числа, функция комплексной переменной, предел, производная, интеграл, вычет, гармонический анализ) и операционного исчисления (преобразование Лапласа, интегрирование и дифференцирование оригинала и изображения, разностные уравнения, операционные модели в экономике, биологии, технике). Излагаемый материал сопровождается большим количеством примеров. Для самостоятельной работы в конце учебного пособия приведены задачи по теории функций комплексной переменной и операционному исчислению с ответами. Данное пособие можно рассматривать в том числе как краткое руководство к решению задач. Предназначено для студентов инженерных факультетов и вузов, а также других специальностей, предполагающих приобретение знаний и навыков математических исследований. Может быть полезно для аспи-рантов, преподавателей и специалистов, профиль интересов и работа кото-рых связаны с вопросами функций комплексной переменной и операцион-ного исчисления. ВВЕДЕНИЕ 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ 1.1.1. ПОНЯТИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ 1.1.2. ДЕЙСТВИЕ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ 1.1.3. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ В ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФОРМЕ ЗАПИСИ 1.2. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОДНОЗНАЧНЫЕ И МНОГОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ 1.3. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА И НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 1.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ. УСЛОВИЯ КОШИ — РИМАНА 1.5. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. СВОЙСТВА. ПРИМЕРЫ 1.6. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ МОДУЛЯ И АРГУМЕНТА ПРОИЗВОДНОЙ 1.7. ИНТЕГРАЛ ПО КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОТ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, ЕГО СВОЙСТВА 1.8. ТЕОРЕМА КОШИ. ИНТЕГРАЛ КОШИ, ЕГО СВОЙСТВА 1.9. РЯД ТЕЙЛОРА 1.10. РЯД ЛОРАНА. ИЗОЛИРОВАННАЯ ОСОБАЯ ТОЧКА. ПОЛЮС n-ГО ПОРЯДКА. ВЫЧЕТ ФУНКЦИИ 1.11. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ВЫЧЕТАХ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЫЧЕТОВ 1.12. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ВЫЧЕТ 1.13. ПРИМЕНЕНИЕ ВЫЧЕТОВ К ВЫЧИСЛЕНИЮ ИНТЕГРАЛОВ 1.14. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1.14.1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 1.14.2. РЯД ФУРЬЕ В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ 1.14.3. АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНЫЙ СПЕКТР ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 1.14.4. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ИНТЕГРАЛОМ ФУРЬЕ В ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ФОРМЕ 1.14.5. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ. ПРЯМОЕ И ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 1.14.6. АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНЫЙ СПЕКТР НЕПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 1.15. ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 1.15.1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 1.15.2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 1.15.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ОТ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 1.15.4. РЯДЫ ФУРЬЕ 2. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 2.1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА, ЕГО ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА 2.1.1. ПОНЯТИЕ ОРИГИНАЛА И ИЗОБРАЖЕНИЯ 2.1.2. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 2.1.3. ОСНОВНЫЕ ОРИГИНАЛЫ И ИЗОБРАЖЕНИЯ 2.2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ И ОРИГИНАЛА 2.2.1. ТЕОРЕМЫ ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ОРИГИНАЛА И ИЗОБРАЖЕНИЯ 2.2.2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ 2.2.3. ИЗОБРАЖЕНИЕ СВЕРТКИ ДВУХ ОРИГИНАЛОВ 2.3. ТЕОРЕМЫ ХЕВИСАЙДА 2.4. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 2.4.1. ТЕОРЕМА О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ОРИГИНАЛА 2.4.2. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ОПЕРАТОРНЫМ МЕТОДОМ 2.4.3. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПЕРАТОРНЫМ МЕТОДОМ 2.5. ПОНЯТИЕ РЕШЕТЧАТОЙ ФУНКЦИИ 2.6. ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 2.6.1. СВОЙСТВА ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 2.7. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ИХ РЕШЕНИЕ НА ОСНОВЕ ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 2.7.1. РАЗНОСТИ K-ного ПОРЯДКА И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2.7.2. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 2.8. ОПЕРАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ, БИОЛОГИИ, ТЕХНИКЕ 2.8.1. МОДЕЛЬ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ 2.8.2. МОДЕЛИ ДИНАМИКИ БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ 2.8.3. МОДЕЛИРОВАНИЕ РАБОТЫ АВТОМАСТЕРСКОЙ 2.9. ЗАДАЧИ ПО ОПЕРАЦИОННОНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ПО ОПЕРАЦИОННОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ ПРИЛОЖЕНИЯ Приложение 1. ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ОРИГИНАЛОВ И ИЗОБРАЖЕНИЙ Приложение 2. ТАБЛИЦА СВОЙСТВ ОРИГИНАЛОВ И ИЗОБРАЖЕНИЙ Приложение 3. ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ РЕШЕТЧАТЫХ ОРИГИНАЛОВ И ИЗОБРАЖЕНИЙ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК