Métodos Matemáticos de la Física

Description

Titular una obra con un nombre tan general como el de Métodos Matemáticos de la Física puede parecer ambicioso y por veces resultar peligroso, pues tratar de abarcar todos los métodos que utiliza la ciencia física para el estudio de los procesos y fenómenos físicos en un libro que pretende servir de texto para estudiantes universitarios, requiere una selección cuidadosa para no convertirse en una acumulación enciclopédica de todos los diversos temas que pudieran agruparse bajo un título tan general. Métodos matemáticos de la Física: texto para el plan de maestría y doctorado en Física Página legal Índice Introducción General 1 Funciones Especiales de la Física Matemática. (...) 1.1 Ecuación Generatriz de las Funciones Especiales 1.2 Comportamiento de las soluciones en el entorno de los puntos (...) 1.3 Problemas de frontera para la ecuación generatriz de las funciones especiales 1.3.1 Planteamiento del problema 1.3.2 Propiedades de los autovalores y de las autofunciones 1.4 Solución de ecuaciones diferenciales por series de potencias 1.4.1 Caso de coeficientes analíticos 1.4.2 Caso de coeficientes con puntos singulares aislados 1.4.3 Caso de puntos singulares regulares 2 Funciones Cilíndricas 2.1 Ecuación de Bessel. Funciones de Bessel 2.2 Otros tipos de funciones cilíndricas. Fórmulas de recurrencia 2.2.1 Funciones de Neumann y de Hankel 2.2.2 Fórmulas de recurrencia 2.3 Norma de las funciones cilíndricas 2.4 Ejemplos de aplicación de las funciones cilíndricas 2.4.1 Problema de Bernoulli sobre las oscilaciones de una cadena colgada 2.4.2 Oscilaciones de la cadena 2.4.3 Oscilaciones de una membrana circular con borde fijo 2.5 Función generatriz de la función de Bessel 2.6 Representación de las funciones cilíndricas a través de integrales (...) 2.6.1 Representación de las funciones de Hankel 2.6.2 Representación de la función de Bessel 2.7 Fórmulas asintóticas de las funciones cilíndricas 2.8 Funciones cilíndricas de orden semientero 2.9 Funciones cilíndricas de argumento imaginario 2.9.1 Ecuación de Bessel de argumento imaginario 2.9.2 Función cilíndrica de argumento imaginario de primer tipo 2.9.3 Función cilíndrica de argumento imaginario de segundo tipo 2.9.4 Ejemplo de aplicación 3 Polinomios de Legendre 3.1 Polinomios de Legendre 3.1.1 Función generatriz 3.1.2 Fórmula de Rodrigues 3.1.3 Propiedades de los polinomios de Legendre 3.2 Ecuación de Legendre 3.3 Norma de los polinomios de Legendre 3.4 Polinomios asociados de Legendre 3.4.1 Definición y propiedades 3.4.2 Ecuación de los polinomios asociados de Legendre 3.4.3 Norma de los polinomios asociados de Legendre 3.5 Ejemplos de aplicación de los polinomios de Legendre 3.5.1 Problema del enfriamiento de una esfera 3.5.2 Problema de una partícula cuántica en un campo de simetría central 4 Polinomios de Hermite y Laguerre 4.1 Polinomios de Hermite 4.1.1 Definición, función generatriz, propiedades 4.1.2 Problema de frontera de los polinomios de Hermite 4.1.3 Norma de los polinomios de Hermite 4.2 Polinomios de Laguerre 4.2.1 Definición, función generatriz 4.2.2 Problema de frontera de los polinomios de Laguerre 4.2.3 Norma de los polinomios de Laguerre 4.2.4 Polinomios generalizados de Laguerre 4.2.5 Problema del átomo de hidrógeno en la Mecánica Cuántica 5 Funciones Hipergeométricas 5.1 Ecuación hipergeométrica. Solución 5.1.1 Solución en el entorno de x = 0. Función hipergeométrica 5.1.2 Solución en el entorno de x = 1 5.2 Propiedades de las funciones hipergeométricas 5.3 Ecuación hipergeométrica confluente 5.4 Propiedades de la función hipergeométrica confluente 6 Algunas otras funciones especiales de la Física Matemática 6.1 Función Zeta de Riemann 6.2 Función de Mathieu 6.2.1 Ecuación de Mathieu 6.2.2 Forma de la solución de la ecuación de Mathieu 6.2.3 Ecuación de Hill 6.2.4 Soluciones periódicas de la ecuación de Mathieu 6.2.5 Construcción de las funciones de Mathieu 6.2.6 Teoría de Floquet 6.2.7 Método de Hill 6.3 Funciones de Airy 6.4 Funciones Integrales 6.5 Integrales de Fresnel 6.6 Función de Error y Función de Error Complementaria Introducción a las ecuaciones de la Física Matemática 7 Clasificación de las ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden 7.1 Clasificación de las ecuaciones con dos variables independientes 7.2 Formas canónicas de las ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden 7.2.1 Ecuación hiperbólica 7.2.2 Ecuación elíptica 7.2.3 Ecuación parabólica 7.3 Concepto de planteamiento de los problemas matemáticos. (...) 7.4 Ejercicios del capítulo 8 Problemas físicos que conducen a ecuaciones de la Física Matemática 8.1 Problemas físicos que conducen a ecuaciones hiperbólicas 8.1.1 Oscilaciones longitudinales de una barra 8.1.2 Oscilaciones transversales de una cuerda 8.1.3 Oscilaciones transversales de una membrana 8.1.4 Oscilaciones de volúmenes 8.1.5 Ecuaciones básicas de la Electrodinámica 8.1.6 Ecuaciones de la acústica 8.2 Problemas físicos que conducen a ecuaciones parabólicas 8.2.1 Propagación de calor en el espacio 8.2.2 Ecuación de difusión 8.2.3 Difusión en presencia de desintegración 8.2.4 Proceso de reacción en cadena 8.3 Problemas físicos que conducen a ecuaciones elípticas 8.3.1 Problemas que conducen a la ecuación de Poisson 8.3.2 Problemas que conducen a la ecuación de Helmholtz 9 Planteamiento de los problemas matemáticos 9.1 Ecuaciones hiperbólicas 9.1.1 Condiciones iniciales y condiciones de frontera 9.1.2 Planteamiento de los problemas matemáticos. Unicidad 9.1.3 Problemas en varias dimensiones espaciales 9.1.4 Problema en la recta infinita 9.1.5 Reducción del problema general 9.2 Ecuaciones parabólicas 9.2.1 Condición inicial 9.2.2 Condiciones de frontera 9.2.3 Planteamiento de los problemas matemáticos 9.2.4 Problemas en la recta infinita y semiinfinita 9.2.5 Principio del valor máximo y mínimo 9.3 Ecuaciones elípticas 9.3.1 Ecuación elíptica de Poisson 9.3.2 Ecuación elíptica de Helmholtz 9.4 Problemas correctos e incorrectos de la Física Matemática 10 Método de Ondas Viajeras 10.1 Solución general de la ecuación hiperbólica 10.2 Solución del problema de Cauchy. Fórmula de D’Alembert 10.3 Interpretación física de la fórmula de D’Alembert 10.4 Función delta de Dirac 10.5 Función de Green. Ecuación no homogénea 10.6 Recta semiinfinita. Método de prolongación 10.7 Ejercicios del capítulo 11 Método de Separación de Variables 11.1 Ecuaciones hiperbólicas y parabólicas unidimensionales 11.1.1 Problema auxiliar 11.1.2 Solución de los problemas iniciales 11.1.3 Ejemplo 11.1.4 Condiciones matemáticas de validez del método 11.1.5 Interpretación física de la solución 11.1.6 Función de Green 11.1.7 Solución de la ecuación no homogénea 11.1.8 Ejemplos ilustrativos 11.1.9 Solución del problema general 11.1.10 Oscilaciones bajo la acción de una fuerza periódica armónica. (...) 11.2 Ecuaciones hiperbólicas y parabólicas en varias dimensiones espaciales 11.2.1 Planteamiento de los problemas y reducción del problema general 11.2.2 Problema auxiliar. Autovalores y autofunciones 11.2.3 Solución de la ecuación homogénea con condición de frontera homogénea 11.2.4 Solución de las ecuaciones no homogéneas con condiciones homogéneas 11.3 Ejemplos de solución de problemas hiperbólicos y parabólicos (...) 11.3.1 Problemas que no requieren el uso de funciones especiales 11.3.2 Problemas que requieren el uso de funciones cilíndricas 11.3.3 Problemas que requieren el uso de funciones esféricas. (...) 11.4 Ecuaciones elípticas 11.4.1 Ecuación de Poisson 11.4.2 Ecuación de Helmholtz 11.5 Ejercicios del capítulo 12 Método de Transformadas Integrales 12.1 Ecuaciones hiperbólicas 12.1.1 Problema de Cauchy 12.1.2 Problemas en la recta semiinfinita 12.2 Ecuaciones parabólicas 12.2.1 Recta infinita. Función de Green 12.2.2 Recta semiinfinita 12.2.3 Ejemplo 12.3 Ejercicios del capítulo 13 Método de la Función de Green 13.1 Resumen del concepto de Función de Green estudiado anteriormente 13.1.1 Ecuación hiperbólica 13.1.2 Ecuación parabólica 13.2 Soluciones fundamentales de los operadores diferenciales lineales 13.2.1 Soluciones generalizadas de las ecuaciones diferenciales lineales 13.2.2 Soluciones fundamentales 13.2.3 Ecuación con parte derecha 13.2.4 Solución fundamental del operador diferencial lineal ordinario 13.2.5 Operador de conducción del calor (de difusión) 13.2.6 Operador de onda (de D’Alembert) 13.3 Función de Green de la ecuación de Poisson 13.3.1 Definición 13.3.2 Problema de Dirichlet 13.3.3 Problema de Neumann 13.3.4 Tercer Problema de Frontera 13.3.5 Caso bidimensional 13.3.6 Ejemplos 13.3.7 Método de las imágenes electrostáticas 13.4 Función de Green de la ecuación de Helmholtz 13.4.1 Soluciones fundamentales de la ecuación de Helmholtz 13.4.2 Función de Green de la ecuación de Helmholtz 13.5 Ejercicios del capítulo 14 Método de la Teoría de Potenciales 14.1 Potenciales para la ecuación de Poisson 14.1.1 Conceptos iniciales 14.1.2 Integrales impropias 14.1.3 Potencial de volumen 14.1.4 Potencial de doble capa 14.1.5 Potencial de capa simple 14.2 Potenciales para la ecuación de Helmholtz 14.2.1 Potencial de Volumen 14.2.2 Potencial de doble capa 14.2.3 Potencial de capa simple 14.3 Ejercicios del capítulo 15 Problemas en el Espacio Abierto 15.1 Propagación del calor y difusión en el espacio abierto 15.2 Oscilaciones en el espacio abierto 15.2.1 Fórmula de Kirchhoff 15.2.2 Solución del problema de Cauchy para la ecuación homogénea (...) 15.2.3 Dependencia de la solución de las condiciones iniciales 15.2.4 Solución de la ecuación no homogénea de oscilaciones en el espacio abierto 15.3 Solución de la ecuación de oscilaciones bajo la acción de una fuerza (...) 15.4 Planteamiento de los problemas de frontera para la ecuación de Helmholtz (...) 15.4.1 Planteamiento de los problemas. Análisis de la unicidad de la solución 15.4.2 Condición de Radiaci´on de Sommerfeld 15.4.3 Principio de absorción límite 15.4.4 Principio de amplitud límite 15.5 Ejercicios del capítulo 16 Método de Diferencias Finitas 16.1 Problemas en diferencias finitas para la ecuación de Laplace 16.1.1 Planteamiento del problema 16.1.2 Propiedades de la soluci´on del problema en diferencias finitas 16.1.3 Solución del problema en diferencias finitas 16.2 Ideas Generales de los Métodos de Diferencias Finitas 16.2.1 Redes y funciones de redes 16.2.2 Orden de aproximación de los operadores 16.2.3 Problema en diferencias finitas para la ecuación de conducción de calor 16.2.4 Estabilidad de los esquemas en diferencias finitas 16.2.5 Convergencia de los esquemas en diferencias finitas 16.2.6 Métodos de solución de los esquemas en diferencias finitas. (...) 17 Ideas sobre los métodos de solución de ecuaciones no lineales 17.1 Ecuación de Korteweg-de Vries y el método del problema inverso 17.1.1 Forma canónica de la ecuación de Korteweg-de Vries (KdV) 17.1.2 Leyes de conservación 17.1.3 Método del problema inverso 17.1.4 Solitones 17.1.5 Otras ecuaciones 18 Elementos de Espacios Funcionales y Operadores 18.1 Espacios lineales normados 18.1.1 Conceptos iniciales 18.1.2 Otros conceptos importantes 18.2 Espacios de Banach 18.3 Espacios de Hilbert 18.3.1 Conceptos generales 18.3.2 Convergencia débil 18.3.3 Sistemas ortogonales. Series de Fourier 18.3.4 Sistemas ortonormales cerrados y completos 18.3.5 Espacios de Lebesgue y de Sóboliev 18.3.6 Un ejemplo importante de espacio euclídeo no completo 18.4 Espacios l2 y L2 18.4.1 El espacio l2 18.4.2 El espacio L2 18.5 Operadores totalmente continuos y autoconjugados en un espacio de Hilbert 18.5.1 Conceptos generales sobre operadores 18.5.2 Operadores conjugados en espacios de Hilbert 18.5.3 Operadores autoconjugados 18.5.4 Operadores totalmente continuos 18.5.5 Autovalores de un operador autoconjugado totalmente continuo 18.5.6 Propiedades fundamentales de los autovalores y las autofunciones (...) 18.6 Complementos de la teoría espectral de operadores 18.6.1 Ecuaciones operacionales 18.6.2 Operador resolvente 18.6.3 Solución de las ecuaciones operacionales por el método (...) 18.6.4 Propiedades analíticas de la resolvente 18.7 Operadores no acotados en un espacio de Hilbert 19 Principales Sistemas de Coordenadas 19.1 Coordenadas rectangulares cartesianas 19.2 Coordenadas Cilíndricas 19.3 Coordenadas Esféricas 19.4 Coordenadas Elípticas 19.5 Coordenadas Parabólicas 19.6 Coordenadas elipsoidales 19.7 Coordenadas elipsoidales degeneradas 19.8 Coordenadas Toroidales 19.9 Coordenadas Bipolares 19.10Coordenadas Esferoidales 19.11Coordenadas Paraboloidales Bibliografía 9789591622778-preliminares.pdf Página legal