Topologie et analyse fonctionnelle

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Page de titre Avant-propos Chapitre 1 : Distances et espaces métriques 1. Distances 2. Espaces métriques 3. Quelques notions qu'on peut définir à l'aide d'une distance Lecture: Tout espace métrique E_d est isométrique à un s.e.m. de B_∞(E,R) Corrigé des exercices Problème : Régularisée de Hausdorff d'une fonction Chapitre II : Normes et espaces vectoriels normés 1. Normes 2. Espaces vectoriels normés 3. Exemples d'espaces vectoriels normés 4. Exemples classiques d'espaces vectoriels normés (e.v.n. « classiques ») 5. Produits scalaires et espaces préhilbertiens 6. Ensembles et fonctions convexes Lecture: Le critère de « préhilbertisabilité » de Jordan-von Neumann Corrigé des exercices Problème : Jauges de Minkowski Chapitre III : Suites de points d'un espace métrique 1. Suites de points d'un ensemble 2. Suites de points d'un espace métrique 3. Limite supérieure et limite inférieure d'une suite de nombres réels Corrigé des exercices Lecture : Convergence de suites d'ensembles Problème : Stabilité en optimisation Chapitre IV : Densité et approximation dans un e.m. 1. Densité et approximation 2. Approximation uniforme des fonctions [a,b]->R. Le théorème de Weierstrass Démonstrations Lecture : Sous-groupes du groupe additif des nombres réels Corrigé des exercices Problème : Une distance curieuse Chapitre V : Fermés d'un espace métrique 1. Notion d'adhérence 2. Points d'accumulation et points isolés 3. Frontière 4. Parties fermées d'un espace métrique Corrigé des exercices Problème : Étude d'une fonction convexe Chapitre VI : Ouverts d'un espace métrique 1. Notion d'intérieur 2. Parties ouvertes d'un espace métrique Corrigé des exercices Problème 1 : Boules généralisées Problème 2 : Ensembles rares Chapitre VII : Applications continues 1. Continuité en un point 2. Continuité sur un espace métrique Démonstrations Corrigé des exercices Lecture-Problème : Partition continue de l'unité subordonnée à un recouvrement Chapitre VIII: Applications uniformément continues. Homéomorphismes 1. Continuité uniforme 2. Homéomorphismes Corrigé des exercices Chapitre IX : Produit d'espaces métriques et continuité. Limite d'une application 1. Produits d'espaces métriques 2. Espace métrique produit et continuité 3. Limite d'une application Corrigé des exercices Chapitre X : Applications linéaires continues 1. Caractérisations des applications linéaires continues. L'e.v.n. £(E,F) 2. Exemples 3. Caractérisations des applications multilinéaires continues Démonstrations Lecture 1 : Une propriété des isométries Lecture 2 : Approximation d'un e.v.n Corrigé des exercices Annexe : Rappels d'algèbre linéaire Chapitre XI : Suites de Cauchy et espaces métriques complets. Espaces de Banach, espaces de Hilbert 1. Suites de Cauchy 2. Espaces métriques complets : espaces de Banach, espaces de Hilbert 3. Exemples fondamentaux d'espaces métriques et d'e.v.n. complets : espaces de Banach classiques Corrigé des exercices Chapitre XII : Espaces métriques complets (suite) 1. Théorèmes de prolongement 2. Espaces vectoriels normés de dimension finie 3. Séries dans les espaces vectoriels normés Démonstrations Corrigé des exercices Lecture-Problème 1 : Le principe de Ekeland Lecture-Problème 2 : Le théorème de prolongement de Tietze-Urysohn Lecture-Problème 3: Le théorème de T.-U., une autre approche Chapitre XIII: Espaces métriques compacts (I) 1. Recouvrements 2. Espaces métriques précompacts 3. Espaces métriques compacts Corrigé des exercices Problèmes de révisions: Problème 1 : Le dual de C₀ est isométrique à L₁ Problème 2 : Convergence d'une suite d'ensembles Problème 3 : Normes équivalentes Problème 4 : Espaces ultramétriques Chapitre XIV : Espaces métriques compacts (II) 1. Le théorème fondamental 2. Applications continues définies sur un espace métrique compact 3. Ensembles équicontinus. Théorème d'Arzelà-Ascoli 4. Espaces métriques localement compacts Démonstrations Corrigé des exercices Lecture-Problème : Théorème de Stone-WeierstraB Problème 1 : Espaces métriques à boules fermées compactes Problème 2 : Le théorème de Bohman-Korovkin Problème 3 : Le théorème de la place des zéros Chapitre XV : Complété d'un espace métrique, d'un e.v.n. et d'un espace préhilbertien 1. Complété d'un espace métrique 2. Complété d'un espace vectoriel normé 3. Complété d'un espace préhilbertien Corrigé des exercices Annexe : Propriétés des nombre réels Chapitre XVI : Espaces métriques complets : Applications (I) Points fixes 1. Point fixe d'une application 2. Le théorème du point fixe des contractions strictes 3. Quelques applications du théorème du point fixe 4. Variantes du théorème fondamental et applications 5. Le théorème de Brouwer Lecture : Un résultat d'existence pour les équations non linéaires Corrigé des exercices Chapitre XVII : Espaces métriques complets : Applications (II) Projections 1. Meilleure approximation dans un espace métrique 2. Meilleure approximation dans un e.v.n 3. Projection sur un convexe complet d'un espace préhilbertien 4. Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel complet Corrigé des exercices Problème : Algorithme pour trouver un point dans une intersection Chapitre XVIII : Espaces de Hilbert réels (I). Autour du théorème de Riesz 1. L'application de dualité. Le théorème de F. Riesz 2. Opérateur adjoint d'un opérateur Corrigé des exercices Problème 1 : Noyaux reproduisants de Aronszjan-Bergman Problème 2 : Un problème de Contrôle Optimal abstrait Chapitre XIX : Espaces de Hilbert réels (II). Bases hilbertiennes 1. Base hilbertienne, ou base orthonormale, d'un espace préhilbertien réel séparable 2. Existence de bases hilbertiennes 3. Applications Corrigé des exercices Problème 1 : Une riche famille d'opérateurs Problème 2 : Opérateurs de Hilbert..Schmidt Problème 3 : Opérateurs de décalage Problème 4 : Un calcul de distance Problème 5 : Un espace de Hilbert et son dual Problème 6 : Un contre-exemple sur la projection orthogonale Problème 7 : La base hilbertienne de Haar Chapitre XX : Connexité(s) 1. Connexité par arcs 2. Connexité 3. Composantes connexes 4. Applications de la notion de connexité Corrigé des exercices Lecture-Problème : Le groupe fondamental d'un espace métrique Chapitre XXI: Minimisation d'une forme quadratique 1. Minimisation et inéquations 2. Points selle et min-max 3. Résultat d'existence et algorithme de calcul Mathématiciens cités Index Notations Bibliographie Table des matières