Séries Divergentes et Développements Asymptotiques

Description

Le texte qui suit reprend et développe le contenu de deux exposés faits à l'Ecole Polytechnique, dans le cadre des Journées X- U.P.S. au printemps 1991, consacrées aux Séries Divergentes. Il est en grande partie élémentaire. J'ai particulièrement insisté sur quelques points historiques, apportant sur ce plan quelques vues que je crois nouvelles (étayées de citations et de références précises aux auteurs originaux), tout en donnant une introduction aux recherches actuelles sur le sujet. TABLE DE MATIÈRES INTRODUCTION 1 CHAPITRE 1. PETITE HISTOIRE DES SÉRIES DIVERGENTES 2 §1 La sommation des séries divergentes: que peut-on rêver? . 2 §2 Euler: l'équation fonctionnelle de la fonction £ et la "série d'Euler" 11 §3 Euler, Cauchy, Poincaré et la sommation au plus petit terme 15 §4 Stokes et les caustiques. Le phénomène de Stokes .... 20 §5 La sommation des séries convergentes en dehors de leur disque de convergence: Borel, Lindelôf, Hardy, 22 §6 Poincaré et la théorie asymptotique 33 CHAPITRE 2. DÉVELOPPEMENTS ASYMPTOTIQUES ET SOMMABILITÉ .... 37 §1 Les développements asymptotiques Gevrey 37 §2 La &-sommabilité 43 §3 La multisommabilité 46 CHAPITRE 3. SÉRIES DIVERGENTES ET SYSTÈMES DYNAMIQUES 56 §1 Solutions formelles des équations différentielles 56 §2 Formes normales d'équations différentielles et de difféo- morphismes 59 §3 Perturbations singulières, retard à la bifurcation et canards 64 §4 Les équations aux g-différences 72 §5 La multiplicité des procédés "naturels" de sommation, les "branches" des fonctions et la dernière lettre d'Evariste Galois 77 BIBLIOGRAPHIE 90