Fehlerlehre und Ausgleichsrechnung

Description

1 Einführung in die Algebra der Matrizen 11 Definition der Matrix, Sonderformen und Bezeichnungen 11.1 Matrix 11.2 Bezeichnungen 11.3 Transponierte Matrix 11.4 Überschaubarkeit der Formeln 11.5 Determinante 11.6 Diagonale und Spur 11.7 Aufteilung in Spalten 12 Rechenregeln 12.1 Addition, Subtraktion 12.2 Multiplikation 12.3 Summenproben 12.4 Lineare Funktionen und Gleichungen 12.5 Zweckmäßige Anordnung der Faktoren 12.6 Übungen zur Multiplikation 13 Inversion der Matrizen 13.1 Definition 13.2 Determinantenformel 13.3 Einfache Inversion bei Sonderformen 13.4 Inversion symmetrischer Matrizen 13.5 Lineare Gleichungen mit nichtsymmetrischer Koeffizientenmatrix 13.6 Matrizeninversion durch Reihenentwicklung 13.7 Fehlersuche, Fehlerberichtigung 13.8 Wissenswertes 13.9 Übungen 14 Submatrizen 14.1 Erklärung 14.2 Vorteile bei numerischen Rechnungen 14.3 Übungen 15 Lineare Transformationen 15.1 Transformation als Abbildung 15.2 Orthogonale Transformation 16 Differentiation von Matrizenfunktionen 16.1 Differentialenvektor und totales Differential 16.2 Regeln zur Differentiation linearer und quadratischer Matrizenfunktionen 16.3 Extremwert der allgemeinen Gleichung 2. Grades 16.4 Übung 17 Rang der Matrix 17.1 Rangdefekt 17.2 Weitere Bezeichnungen 17.3 Rang bei Matrizenprodukten 17.4 Nullteiler 17.5 Bestimmung des Rangs einer Matrix 18 Positiv definite Form 18.1 Definition und Bezeichnungen 18.2 Unterscheidung eingentlich definit und semidefinit 18.3 Definitheit bei reell symmetrischen Produkten 18.4 Definitheit bei reell symmetrischen Produkten 18.5 Bestimmung der Definitheit 19 Eigenwert, Eigenvektoren 19.1 Das Eigenwertproblem 19.2 Spektralmatrix und Modalmatrix 19.3 Beispiel 19.4 Weitere Zusammenhänge 19.5 Beispiel 19.6 Übung 19.7 Kondition 19.8 Pseudoinverse 19.9 Idempotenz und Tripotenz 2 Fehlerlehre 21 Fehlerarten und Begriffe 21.1 Ungenauigkeiten 21.2 Elementarfehler 21.3 Systematische Fehler 21.4 Zufällige Fehler 21.5 Korrelierte Beobachtungen 21.6 Wahre Fehler und Residuen 22 Genauigkeitsmaße 22.1 Durchschnittlicher Fehler 22.2 Mittlerer Fehler 22.3 Wahrscheinlicher Fehler 22.4 Fehlergrenze 22.5 Relativer Fehler 22.6 Beispiel 23 Korrelation 23.1 Erklärung 23.2 Definitionen 23.3 Beispiel 24 Fehlerfortpflanzung 24.1 Lineare Funktionen. Ableitung 24.2 Lineare Funktionen. Beispiel 24.3 Nichtlineare Funktionen. Ableitung 24.4 Nichtlineare Funktionen. Beispiel 24.5 Sonderfalle beim Linearisieren 24.6 Linearisieren durch numerisches Differenzieren 24.7 Beispiel 25 Mittlerer Fehler 25.1 Berechnung aus Residuen 25.2 Mittlerer Fehler des einfachen Mittels 25.3 Beispiel 25.4 Mittlerer Fehler aus Doppelmessungen 25.5 Beispiel 26 Gewicht und Kofaktor 26.1 Gewogenes Mittel 26.2 Kofaktoren 26.3 Allgemeines Fortpflanzungsgesetz der Kofaktoren 26.4 Fehlerfortpflanzung in Funktionen von Funktionen 27 Zufallsgrößen, Dichtefunktion, Verteilungsfunktion 27.1 Kontinuierliche Verteilungen 27.2 Das GAUSSsche Fehlergesetz 27.3 Tabellen zur Normalverteilung 27.4 Beispiele zum Tabellengebrauch 27.5 Diskrete Verteilungen 27.6 Die elementaren Fehlermaße in der Normalverteilung 27.7 Untersuchung einer Stichprobe auf Normalverteilung 28 Mehrdimensionale Verteilungen 28.1 Das Bivariat in Normalverteilung 28.2 Das Multivariat in Normalverteilung 3 Ausgleichung direkter und vermittelnder Beobachtungen 31 Die Methode der kleinsten Quadrate 31.1 Zwei Begründungen 31.2 Erweiterung auf korrelierte Beobachtungen 32 Ausgleichung direkter Beobachtungen 32.1 Beobachtungsreihe für eine Unbekannte 32.2 Mehrfache Messung eines Vektors 33 Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen 33.1 Linearisieren der Fehlergleichungen 33.2 Formelableitung 33.3 Beispiel Höhennetz 34 Netzverdichtung 34.1 Koeffizienten in Richtungs- und Streckenfehlergleichungen 34.2 Aufstellen der Fehlergleichungen 34.3 Daten für ein Beispiel zur Netzverdichtung 34.4 Reduzierte Fehlergleichungen 34.5 Gemeinsame Ausgleichung von Richtungen und Strecken 34.6 Stationsausgleichungen 34.7 Netzverdichtung mit korrelierten Richtungssätzen 34.8 Genauigkeit der Punktlage 34.9 Helmerts Verfahren zur Netzeinpassung 35 Ausgleichungen mit singulärer N-Matrix 35.1 Rangdefekte 35.2 Datumsdefekt 35.3 Konfigurationsdefekt 35.4 Zwangsfreie Ausgleichung eines Lagenetzes 35.5 Streckennetz Sattenhausen 36 Vermittelnde Beobachtungen mit gemessenen Unbekannten oder Bedingungen zwischen den Unbekannten 36.1 Zusammenfassen direkter und vermittelnder Beobachtungen 36.2 Ausgleichung eines Schwerenetzes 36.3 Bedingungen zwischen den Unbekannten 36.4 Ausgleichung in zwei Stufen 36.5 Stationsausgleichung zur Winkelmessung in der Sektorenmethode 36.6 Netzverbesserung durch zusätzliche Messungen 37 Einige Ergänzungen 37.1 Probe für die Gewichtsreziproken der ausgeglichenen Beobachtungen 37.2 Nachträgliches Einbeziehen zusätzlicher Messungen in eine Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen 37.3 Ausgleichung ohne Normalgleichungen 37.4 Funktionales und stochastisches Modell 37.5 Direkte Berechnung der Residuen 4 Ausgleichung bedingter Beobachtungen 41 Bedingungsgleichungen, Widersprüche 41.1.1 Gang der Ausgleichung 41.2 Mehrere Bedingungen 41.3 Nichtlineare Bedingungen 42 Ausgleichung mit mehreren Bedingungen 42.1 Formelableitung 42.2 Ausgleichung eines freien Nivellementsnetzes 42.3 Ausgleichung angeschlossener Nivellements 42.4 Bedingungsgleichungen in freien Richtungsnetzen 42.5 Angeschlossene Richtungsnetze 42.6 Numerische Behandlung von Sinusbedingungen 42.7 Ausgleichung eines Vierecks mit kreuzenden Diagonalen 43 Ausgleichung ohne Normalgleichungen 43.1 Orthogonale Bedingungsgleichungen 43.2 Orthogonalisierung der Bedingungsgleichungen mit Beispiel 43.3 Iterative Nivellementsausgleichung nach GAUSS-VOGLER 43.4 Stationsausgleichung bei der Schweizer Sektorenmethode nach BAESCHLIN 44 Bedingungsgleichungen mit Unbekannten 44.1 Problem 44.2 Formelableitung 44.3 Fehlerrechnungen 44.4 Azimutbestimmung nach SODANO 44.5 Ausgleichungsalgorithmus der Photogrammetr 44.6 Beispiel 5 Ausgewählte Aufgaben der Ausgleichsrechnung 51 Große Dreiecksnet 51.1 Additionstheorem der reduzierten Normalgleichungen 51.2 Probleme der Netzabgrenzung 52 Einfluß vernachlässigter Korrelationen 53 Ausgleichende Funktionen 53.1 Die Aufgabe 53.2 Ausgleichende Gerade und Regressionsgerade 53.3 Ausgleichende Sinuslinie 53.4 Willkürliche Funktionen 53.5 Multiple Abhängigkeiten 6 Einige Anwendungen der mathematischen Statistik 61 Verteüungsquantilen und Vertrauensbereiche 62 t-Verteilung, t-Quantilen und Vertrauensbereich für ζ 62.1 t-Verteilung 62.2 Quantilen der t-Verteilung 62.3 Vertrauensbereich für den Erwartungswert, wenn σ nicht gegeben ist 63 χ2-Verteilung und Vertrauensbereich für σ 63.1 χ2-Verteilung 63.2 Quantilen der χ2-Verteilung 63.3 Vertrauensbereich für σ 64 Signifikanztest 64.1 Problem 64.2 Verstärken eines Signifikanzbeweises 64.3 Risiken und Macht des Testes 65 Teste zu Varianzen und Kovarianzen 65.1 F-Verteilung 65.2 Quantilen der F-Verteilung 65.3 Vergleich empirischer Varianzen 65.4 BARTLETTs Homogenitätstest 65.5 Verteilung des Korrelationskoeffizienten 65.6 Vertrauensbereich und Signifikanztest für den Korrelationskoeffizienten 66 Signifikanzteste für die Differenzen zweier Zufallsgrößen 66.1 Vergleich zweier empirischer Mittelwerte bei gleicher Varianz der Beobachtungen 66.2 Vergleich zweier empirischer Mittelwerte bei ungleicher Varianz der Beobachtungen 66.3 Vergleich zweier unabhängig ausgeglichener Werte eines Parameters 67 Prüfung von Verteilungen 67.1 χ2-Anpassungstest 67.2 χ2-Anpassungstest nach MANN und WALD 67.3 Anpassungstest der empirischen Summenfunktion nach KOLMOGOROW und SMIRNOW 67.4 Spezielle Prüfungsverfahren zur Normalverteilung 7 Mathematische Modelle für emprische Erkenntnisse 71 Regressionsanalysen 71.1 Regressionskoeffizient 71.2 Regression im normalverteilten Bivariat 71.3 Partielle Korrelation 71.4 Multiple Regression 72 Kollokation 72.1 Begriffe 72.2 Beobachtungsgleichungen 72.3 Formelableitung 72.4 Voraussetzungen für sinnvolle Anwendung 72.5 Kovarianzmatrix, positiv definite Funktionen Anhang Tabelle 1: Wahrscheinlichkeitsdichte der normierten Normalverteilung Tabelle 2: Verteilungsfunktion der normierten Normalverteilung Literatur Sachregister