Неожиданное в математике и его связь с авариями и катастрофами

Description

Книга посвящена открытым авторами важным явлениям, неожиданно обнаруженным в традиционных разделах математики — преобразовании и решении уравнений. Эти явления в ряде случаев изменяют корректность задач и могут привести к серьезным ошибкам при проверке устойчивости математических моделей технических устройств и стать причиной опасных аварий. Излагаются основы уточненных преобразований, позволяющие уменьшить аварийность и уточнить связь между математической моделью и физической реальностью. Описаны дополнительные проверки, позволяющие исправить ошибки, обнаружившиеся в популярных пакетах прикладных программ: MATLAB, Mathcad и многих других. Содержание Предисловие Введение Глава 1. Дифференциальные уравнения и их преобразования Глава 2. Устойчивость решений Первая неожиданность Глава 3. Математическая неожиданность Глава 4. Объяснение неожиданности Глава 5. Практические приложения Глава 6. Аварии и катастрофы Глава 7. Преобразования, эквивалентные в расширенном смысле Глава 8. Предотвращение аварий и катастроф Глава 9. Нелинейные системы. Гарантирует ли существование функции Ляпунова сохранение устойчивости при вариациях параметров? Глава 10. Определения и теоремы Глава 11. Проблема сохранения устойчивости Глава 12. Простые примеры изменения корректности (учителю на заметку) Глава 13. Общая проблема надежности вычислений и корректности математических моделей. Вычисление собственных чисел матриц и смежные задачи 1. Методика, основанная на построении матриц степеней 2. Поведение решений дифференциальных уравнений на фазовой плоскости 3. Сопоставление различных методов исключения переменных Глава 14. О третьем классе задач математики, физики и техники — задачах, промежуточных между корректными и некорректными Глава 15. О непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от параметров Глава 16. Необходимость исследования "триады" Примеры Глава 17. Некорректные и плохо обусловленные задачи физики и техники. Различия между ними Глава 18. Проблема обеспечения надежности компьютерных вычислений Глава 19. Ошибки и неточности, обнаружившиеся в пакетах MATLAB, Mathcad, Scilab и других пакетах прикладных программ. Методы избежания ошибок Численное интегрирование систем обыкновенных дифференциальных уравнений 1. Расчеты устойчивости Пример 1 Пример 2 2. Алгоритмы и программы синтеза оптимальных систем управления 3. Алгоритмы, использующие цепочки эквивалентных преобразований 4. Задачи линейного программирования и решения интегральных уравнений Глава 20. Объяснение трудностей и парадоксов 1. Предрассудки в математике 2. Сложности в недавно открытых новых свойствах эквивалентных преобразований 3. Необходимость учета физических соображений при анализе преобразований математических моделей 4. Необходимость уточнения определений Глава 21. Итоги Глава 22. Рекомендации по совершенствованию учебного процесса Глава 23. Еще о практических приложениях Приложение Что было открыто в СПбГУ в 1987—2003 годах? Открытие первое Открытие второе Открытие третье Открытие четвертое Открытие пятое Список литературы, использованной в Приложении Литература