Théorie spectrale et mécanique quantique

Description

Ce livre présente la théorie spectrale des opérateurs auto-adjoints en dimension infinie ainsi que son application à la mécanique quantique. Le concept d'auto-adjonction, découvert par John von Neumann dans les années 1930, est bien plus subtil dans ce cadre que pour les matrices hermitiennes en dimension finie. Cet ouvrage peut aussi servir d’introduction mathématique à la mécanique quantique. De multiples exemples physiques servent ainsi à illustrer et motiver les théorèmes plus abstraits. Les deux derniers chapitres présentent des résultats plus récents concernant l'équation de Schrödinger pour les atomes, les molécules et les solides. Aucune connaissance physique n'est cependant requise pour lire ces pages. Premier livre en français sur le sujet destiné aux étudiants de Master, ce livre pourra accompagner un cours à ce niveau. Il devrait aussi être utile aux lecteurs plus avancés désirant en savoir plus sur cette théorie. Préface Petite introduction historique Contenu du livre Prérequis Table des matières 1 Introduction à la mécanique quantique : l'atome d'hydrogène 1.1 Mécanique classique 1.1.1 Un système Hamiltonien 1.1.2 Cas de l'atome d'hydrogène 1.2 Mécanique quantique 1.2.1 Un formalisme probabiliste 1.2.2 Vers la théorie spectrale 1.2.3 Un système Hamiltonien 1.3 L'atome d'hydrogène quantique 1.3.1 Stabilité 1.3.2 État fondamental 1.3.3 Spectre 1.4 Une particule dans R d soumise à un potentiel quelconque 1.4.1 Espaces Lp(R d)+Lq(R d) 1.4.2 Stabilité 1.4.3 Existence d'un état fondamental 1.4.4 Unicité de l'état fondamental 1.5 Formalisme Hilbertien de la mécanique quantique 1.5.1 Système physique, états 1.5.2 Observables 1.5.3 Évolution du système 1.5.4 Réunion de systèmes quantiques 1.5.5 Quantification* 1.6 Preuve du théorème 1.17* Exercices complémentaires 2 Auto-adjonction 2.1 Opérateurs, graphe, extension 2.2 Spectre 2.3 Fermeture 2.4 Adjoint 2.5 Symétrie 2.6 Auto-adjonction 2.6.1 Définition 2.6.2 Caractérisation et suites de Weyl 2.6.3 Opérateurs déjà diagonalisés 2.7 Impulsion et Laplacien sur R d 2.8 Impulsion et Laplacien sur un intervalle 2.8.1 Impulsion sur ]0,1[ 2.8.2 Impulsion sur ]0,∞[ 2.8.3 Laplacien sur ]0,1[ Exercices complémentaires 3 Critères d'auto-adjonction : Rellich, Kato & Friedrichs 3.1 Perturbations relativement bornées 3.1.1 Théorie de Rellich-Kato 3.1.2 Application aux opérateurs de Schrödinger 3.2 Formes quadratiques et auto-adjonction 3.2.1 Fermeture des formes quadratiques 3.2.2 Cas des opérateurs symétriques 3.2.3 Cas des opérateurs auto-adjoints 3.2.4 Exemple du Laplacien sur ]0,1[ 3.2.5 Réalisation de Friedrichs 3.3 Formes quadratiques et opérateurs de Schrödinger 3.3.1 Cas des potentiels singuliers localement 3.3.2 Cas d'un potentiel positif quelconque 3.3.3 Séparabilité, oscillateur harmonique 3.3.4 Laplacien sur un domaine borné ΩR d* Exercices complémentaires 4 Théorème spectral et calcul fonctionnel 4.1 Opérateurs de multiplication 4.2 Théorème spectral 4.3 Calcul fonctionnel 4.4 Preuve des théorèmes 4.4 et 4.8 Étape 1: Construction du calcul fonctionnel continu Étape 2: Preuve du théorème spectral 4.4 Étape 3: Preuve du théorème 4.8 (calcul fonctionnel mesurable borné) 4.5 Projections spectrales 4.6 Puissances 4.7 Équations de Schrödinger, de la chaleur et des ondes 4.7.1 Équation de Schrödinger 4.7.2 Équation de la chaleur 4.7.3 Équation des ondes 4.8 Théorème de Stone et groupes de symétrie 4.8.1 Théorème de Stone 4.8.2 Groupe des translations et quantité de mouvement 4.8.3 Groupe des rotations et moment cinétique orbital 4.8.4 Groupe des dilatations et son générateur 4.9 Commutateurs et quantités conservées Exercices complémentaires 5 Spectre des opérateurs auto-adjoints 5.1 Théorie des perturbations 5.1.1 Perturbations bornées 5.1.2 Perturbations relativement bornées 5.1.3 Perturbations bornées au sens des formes quadratiques 5.1.4 Analyticité des projecteurs spectraux et valeurs propres 5.2 Spectre ponctuel, continu, essentiel, discret 5.2.1 (In)stabilité 5.2.2 Caractérisation de Weyl du spectre essentiel 5.3 Opérateurs compacts 5.3.1 Diagonalisation 5.3.2 Opérateurs Hilbert-Schmidt 5.3.3 Opérateurs f(x)g(-i) pour f,gLp(R d) 5.4 Opérateurs à résolvante compacte Application : Laplacien(s) sur ]0,1[ Application : potentiel confinant Application : Laplacien sur un ouvert borné* 5.5 Théorie de Weyl sur l'invariance du spectre essentiel 5.5.1 Perturbations laissant le spectre essentiel invariant 5.5.2 Spectre essentiel des opérateurs de Schrödinger 5.6 Spectre discret et formule de Courant-Fischer 5.6.1 Formule de Courant-Fischer 5.6.2 Spectre discret des opérateurs de Schrödinger 5.6.3 Le principe de Birman-Schwinger 5.7 Un peu d'analyse semi-classique* 5.7.1 Asymptotique de Weyl sur un ouvert borné 5.7.2 Limite semi-classique pour -+V 5.7.3 Inégalités de Lieb-Thirring Exercices complémentaires 6 Systèmes à N particules, atomes, molécules 6.1 Hamiltonien pour N particules, bosons et fermions 6.2 Auto-adjonction 6.3 Spectre essentiel : théorème HVZ 6.4 Particules sans interaction 6.5 Atomes et molécules* 6.5.1 Existence de valeurs propres, conjecture d'ionisation 6.5.2 La limite NκZ→∞ pour les atomes 7 Opérateurs de Schrödinger périodiques et propriétés électroniques des matériaux 7.1 Auto-adjonction 7.2 Théorie de Bloch-Floquet 7.3 Diagonalisation des opérateurs de Schrödinger périodiques 7.4 Systèmes infinis et propriétés électroniques des matériaux* 7.4.1 Limite thermodynamique, densité d'états 7.4.2 Mer de Fermi, isolants, conducteurs 7.4.3 Preuve du théorème 7.4 A Espaces de Sobolev A.1 Définition A.2 Espaces de Sobolev sur l'intervalle ]0,1[ A.3 Espaces de Sobolev sur R d A.4 Trace, relèvement, prolongement sur un ouvert borné A.5 Injections de Sobolev et compacité de Rellich-Kondrachov A.6 Régularité elliptique sur un ouvert borné* B Problèmes B.1 Inégalités de Hardy, atome d'hydrogène pseudo-relativiste Partie 1: inégalités entre opérateurs et interpolation Partie 2 : inégalités de Hardy et Kato-Herbst Partie 3 : l'atome d'hydrogène pseudo-relativiste B.2 Le Laplacien radial Partie 1. Restriction d'un opérateur auto-adjoint Partie 2. Laplacien radial Partie 3. Laplacien radial 3D comme opérateur sur L2(]0,+∞[) B.3 Le potentiel delta Partie 1. Hα n'existe pas pour α≠0 en dimension d≥4 Partie 2. Hα en dimension d=1 Partie 3. Hα en dimensions d=2,3 B.4 Sur la finitude du spectre discret Partie 1. Cas d'un potentiel à support compact en dimension d≥1 Partie 2. Cas de VLd/2(R d) en dimension d≥3 B.5 Théorie de Perron-Frobenius et transitions de phases en physique statistique Partie 1. Cas des opérateurs bornés Partie 2. Cas des opérateurs auto-adjoints quelconques Partie 3. Cas des opérateurs Hilbert-Schmidt Partie 4. Application : absence de transition de phase en dimension d=1 Littérature Index