Grundkurs Analysis und Lineare Algebra: Eine akzentuierte zweisemestrige Einführung

Description

Dieses handliche Lehrbuch stellt akzentuiert diejenigen Inhalte aus Analysis und Linearer Algebra sowie grundlegende mathematische Fähigkeiten und Fertigkeiten dar, die für ein Studium der Mathematik bereits in den ersten beiden Semestern unverzichtbar und für andere Mathematik-nahe Studiengänge in Umfang und Tiefe dennoch vertretbar und realistisch zu bewältigen sind. Dafür werden einige Themen, die in herkömmlichen, separaten Lehrveranstaltungszyklen zu Analysis und Linearer Algebra weitgehend kanonisch sind, hier bewusst ausgelassen – diese können je nach Bedarf anderweitig vertieft werden. Insbesondere Studierende der Informatik, der Physik oder auch des Lehramts lernen Mathematik hier nicht als Ansammlung anwendungsbereiter Ergebnisse, sondern als wohlkonstruiertes Gebäude aus Abstraktion, axiomatischen Strukturen, Sätzen und Beweisen kennen. Passende Übungsaufgaben werden jeweils am Ende der jeweiligen Kapitel angeboten; wenige optionale ergänzende Abschnitte sind als solche gekennzeichnet. Vorwort zur zweiten Auflage Vorwort zur ersten Auflage Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 1.1 Aussagen und Aussagenlogik 1.2 Mengen 1.3 Relationen 1.4 Abbildungen 1.5 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion 1.6 Unendliche Produkte* 1.7 Aufgaben 2 Elemente der Algebra 2.1 Algebraische Operationen 2.2 Homomorphismen 2.3 Gruppen, Ringe, Körper 2.4 Geordnete Körper 2.5 Vollständige geordnete Körper – die reellen Zahlen 2.6 Der Körper der komplexen Zahlen 2.7 Existenz und Eindeutigkeit von mathbbR * 2.8 Aufgaben 3 Folgen 3.1 Grundbegriffe – Beschränktheit und Konvergenz 3.2 Monotonie 3.3 Teilfolgen 3.4 Cauchy-Folgen 3.5 Aufgaben 4 Reihen 4.1 Grundlagen 4.2 Konvergenzkriterien 4.3 Reihen komplexer Zahlen 4.4 Aufgaben 5 Funktionen 5.1 Grenzwerte 5.2 Stetigkeit 5.3 Eigenschaften stetiger reeller Funktionen 5.4 Die Exponentialfunktion und verwandte Funktionen 5.5 Asymptotischer Vergleich von Funktionen* 5.6 Aufgaben 6 Differentialrechnung 6.1 Differenzierbarkeit und Ableitung 6.2 Ableitungsregeln 6.3 Der Mittelwertsatz für differenzierbare reelle Funktionen 6.4 Regeln von Bernoulli–de L'Hospital* 6.5 Aufgaben 7 Vektorräume 7.1 Einige Beispiele 7.2 K-Vektorräume 7.3 Rechenregeln in Vektorräumen 7.4 Untervektorräume 7.5 Lineare Hüllen und Erzeugendensysteme 7.6 Summen von Untervektorräumen 7.7 Aufgaben 8 Basis und Dimension 8.1 Lineare Unabhängigkeit 8.2 Basis eines K-Vektorraumes 8.3 Charakterisierung einer Basis und Dimension eines Vektorraumes 8.4 Dimension eines Untervektorraumes und Dimensionssatz 8.5 Lineare Abbildungen 8.6 Isomorphismen von K-Vektorräumen 8.7 Dimensionsformel 8.8 Quotientenvektorräume* 8.9 Aufgaben 9 Lineare Abbildungen und Matrizen 9.1 Matrizen 9.2 Matrizen und lineare Abbildungen 9.3 Rang und Inverse 9.4 Aufgaben 10 Lineare Gleichungssysteme 10.1 Lösungstheorie 10.2 Das Gauß-Verfahren 10.2.1 Elementare Operationen und Matrizen 10.2.2 Das Gaußsche Eliminationsverfahren 10.3 Aufgaben 11 Integration 11.1 Integral von Treppenfunktionen 11.2 Integration von Regelfunktionen 11.3 Der Mittelwertsatz der reellen Integralrechnung (MWSI) 11.4 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) 11.5 Integrationstechniken 11.5.1 Integration durch Substitution 11.5.2 Partielle Integration 11.5.3 Integration rationaler Funktionen 11.6 Aufgaben 12 Differentialrechnung multivariater Funktionen 12.1 Multivariate Funktionen 12.2 Differenzierbarkeit 12.3 Richtungsableitungen und partielle Differenzierbarkeit 12.4 Rechenregeln 12.5 Extremstellen 12.6 Bivariate reelle Differentiation und univariate komplexe Differentiation* 12.7 Aufgaben Literatur Stichwortverzeichnis