Начальный курс топологии в листочках: задачи и теоремы

Description

Книга написана по материалам лекций, прочитанных в Независимом московском университете и на факультете математики Высшей школы экономики, и состоит из записок лекций и упражнений, предлагавшихся студентам. В курс включены результаты общей топологии, широко применяемые в анализе и геометрии. Для удобства читателя приводятся необходимые понятия и результаты теории категорий и теории множеств. Книга заканчивается начальными главами гомотопической топологии (накрытия, фундаментальная группа). Теоретический материал курса изложен как в лекциях, так и в упражнениях, которые можно изучать независимо от лекций. Вербицкий М.С. Начальный курс топологии в листочках Титул Аннотация Оглавление Введение Краткое описание Матклассы: обучение по листочкам Как читать эту книгу Часть I. Основания математики Глава 1. Основания математики 1.1. О математической строгости 1.2. О формальном методе 1.3. Теория множеств и ее аксиоматизация 1.4. Терминология и библиография Глава 2. Основные понятия теории множеств 2.1. Обозначения теории множеств 2.2. Соответствия и отображения 2.3. Отношения эквивалентности 2.4. Аксиоматическая теория множеств 2.5. Терминология и библиография Глава 3. Кардиналы и теорема Кантора 3.1. Теорема Кантора –– Бернштейна –– Шрёдера 3.2. Мощность множества 3.3. Счетные множества 3.4. Диагональный метод Кантора 3.5. Континуум-гипотеза 3.6. Замечания Глава 4. Аксиома выбора и ее приложения 4.1. Сечение отображения 4.2. Аксиоматическая теория множеств 4.3. Аксиома выбора и ее конкуренты 4.4. Вполне упорядоченные множества 4.5. Лемма Цорна и теорема Цермело Часть II. Топология в задачах Листок 1. Метрические пространства и норма 1.1. Метрические пространства, выпуклые множества, норма 1.2. Полные метрические пространства Листок 2. Топология метрических пространств 2.1. Липшицевы функции 2.2. Расстояние между подмножествами метрических пространств 2.3. Расстояние Хаусдорфа 2.4. Локально компактные метрические пространства Листок 3. Теоретико-множественная топология 3.1. Топология и сходимость Листок 4. Произведение пространств 4.1. База топологии 4.2. Тихоновский куб и гильбертов куб 4.3. Нормальные топологические пространства 4.4. Лемма Урысона и метризация топологических пространств Листок 5. Компактность 5.1. Компакты и произведения 5.2. Теорема Тихонова 5.3. Основная теорема алгебры Листок 6. Поточечная и равномерная сходимость 6.1. Кривая Пеано Листок 7. Связность 7.1. Вполне несвязные пространства Листок 8. Фундаментальная группа и пространство петель 8.1. Линейная связность 8.2. Геодезическая связность 8.3. Пространство петель 8.4. Фундаментальная группа 8.5. Односвязные пространства 8.6. Накрытия Листок 9. Накрытия Галуа 9.1. Накрытия Галуа 9.2. Накрытия линейно связных пространств 9.3. Существование универсального накрытия Листок 10. Фундаментальная группа и гомотопии 10.1. Гомотопии 10.2. Пространства путей на локально стягиваемых пространствах 10.3. Свободная группа и букет Часть III. Лекции по топологии Лекция 1. Метрика, пополнение, p-адические числа 1.1. Метрические пространства и пополнение 1.2. Нормирование на группах и кольцах 1.3. Целые p-адические числа: неархимедова геометрия 1.4. Арифметика p-адических чисел 1.5. Библиография, замечания Лекция 2. Нормирования в векторных пространствах 2.1. Примеры нормированных пространств 2.2. Непрерывные отображения 2.3. Выпуклые множества и норма 2.4. История, замечания Лекция 3. Компакты в метрических пространствах 3.1. Теорема Гейне –– Бореля 3.2. Историческое отступление: работы Хаусдорфа 3.3. Расстояние Хаусдорфа 3.4. Компактность и ε-сети 3.5. Историческое отступление: расстояние Громова –– Хаусдорфа Лекция 4. Внутренняя метрика 4.1. Пространство с внутренней метрикой 4.2. Локально компактные метрические пространства 4.3. Геодезические в метрическом пространстве 4.4. История, терминология, литература Лекция 5. Основы общей топологии 5.1. Топологическое пространство 5.2. Аксиомы Хаусдорфа 5.3. Аксиомы счетности Лекция 6. Произведение пространств 6.1. Свойства произведения 6.2. Отображения в M×M' 6.3. Произведение метрических пространств 6.4. Полуметрики и полунормы 6.5. Тихоновская топология 6.6. Пространства Фреше 6.7. Тихоновский куб и гильбертов куб 6.8. История, замечания Лекция 7. Теорема о метризации 7.1. Нормальные топологические пространства 7.2. Функции Урысона 7.3. «Создатель советской топологии» 7.4. Нормальные пространства и нуль-множества 7.5. Теорема Урысона о метризации 7.6. Теоремы о метризуемости Лекция 8. Компакты 8.1. Компакты и слабо секвенциально компактные пространства 8.2. Компакты и нормальные пространства Лекция 9. Произведение компактов 9.1. Открытые, замкнутые и собственные отображения 9.2. Конечные произведения компактов 9.3. Максимальные идеалы в кольцах 9.4. Лемма Цорна: история, замечания 9.5. Кольцо подмножеств и ультрафильтры 9.6. Теорема Александера о предбазе 9.7. Теорема Тихонова о компактности Лекция 10. Равномерная сходимость 10.1. Банаховы пространства 10.2. Примеры пространств Фреше 10.3. Равномерная метрика на пространстве отображений 10.4. История, замечания Лекция 11. Пространство непрерывных отображений 11.1. Топология равномерной сходимости на C(X, Y) 11.2. Tопология, заданная окрестностями графика 11.3. Замечания Лекция 12. Связные пространства 12.1. Свойства связных подмножеств 12.2. Компоненты связности 12.3. Линейная связность Лекция 13. Вполне несвязные пространства 13.1. Примеры вполне несвязных пространств 13.2. Пространства Стоуна Лекция 14. Теорема Стоуна и теория категорий 14.1. Категории 14.2. Теория категорий: история, замечания 14.3. Булевы кольца и булевы алгебры 14.4. Спектр Зарисcкого для булева кольца 14.5. Булевы алгебры: история, замечания Лекция 15. Фундаментальная группа 15.1. Гомотопные отображения 15.2. Категория пространств с отмеченной точкой и пространства петель 15.3. Фундаментальная группа 15.4. Стягиваемые пространства, ретракты, гомотопическая эквивалентность 15.5. История, замечания Лекция 16. Накрытия Галуа 16.1. Факторпространства 16.2. Категория накрытий 16.3. Односвязные пространства 16.4. Поднятие накрытия 16.5. Накрытия и пути 16.6. Произведение накрытий 16.7. Накрытия Галуа и группа Галуа 16.8. Теория Галуа для накрытий 16.9. Универсальное накрытие 16.10. Этальная фундаментальная группа 16.11. История, замечания Лекция 17. Теорема Зейферта –– ван Кампена 17.1. Фундаментальная группа и универсальное накрытие 17.2. Категория накрытий и фундаментальная группа 17.3. Как восстановить фундаментальную группу по категории накрытий 17.4. Свободная группа и свободное произведение групп 17.5. Представимые функторы 17.6. Лемма Ионеды: история, замечания 17.7. Произведение и копроизведение в категории 17.8. История свободной группы и копроизведений 17.9. Теорема Зейферта –– ван Кампена 17.10. История, замечания Лекция 18. Подгруппы в свободных группах 18.1. Фундаментальная группа букета окружностей 18.2. Деревья 18.3. Унициклические графы 18.4. Фундаментальная группа графа Приложение. Вещественные числа Листок 0. Вещественные числа 0.1. Фундаментальные последовательности 0.2. Дедекиндовы сечения 0.3. Супремум и инфимум 0.4. Корни многочленов нечетной степени 0.5. Пределы 0.6. Ряды