Топология и дифференциальная геометрия

Description

Книга представляет собой учебное пособие по топологии и дифференциальной геометрии для студентов математических специальностей университетов. ВВЕДЕНИЕ 5 1 Топологические пространства 6 1.1 Предварительные соображения . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Определение топологического пространства . . . . . . 8 1.3 Операции над множествами . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Непрерывные отображения и задачи топологии . . . . 13 1.5 Аксиомы отделимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6 Аксиомы счетности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.7 Связность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.8 Компактность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 Многообразия 26 2.1 Определение поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Многообразия. Внутренняя и внешняя геометрия . . 28 2.3 Примеры многообразий . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4 Дифференцируемые функции на многообразии . . . . 35 3 НАЧАЛА ОБЩЕЙ ТЕОРИИ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ 37 3.1 Три классических способа задания поверхности . . . 37 3.1.1 Неявное задание . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.2 Явное задание (в виде графика) . . . . . . . . 38 3.1.3 Параметрическое задание . . . . . . . . . . . . 38 3.2 Гладкие и регулярные поверхности . . . . . . . . . . . 40 3.3 Понятия касания и соприкосновения. Касательная пло- скость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.4 Два специальных типа поверхностей . . . . . . . . . . 46 3.4.1 Линейчатые поверхности . . . . . . . . . . . . 46 3.4.2 Поверхности вращения . . . . . . . . . . . . . . 47 4 МЕТРИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ 49 4.1 Длина кривой. Натуральный параметр . . . . . . . . 49 4.2 Первая фундаментальная форма поверхности . . . . 51 4.3 Длина кривой и угол между кривыми на поверхности 54 4.4 Площадь участка поверхности . . . . . . . . . . . . . 55 5 КРИВИЗНЫ 57 5.1 Кривизна кривой. Репер Френе . . . . . . . . . . . . . 57 5.2 Формулы Френе. Кручение кривой . . . . . . . . . . . 58 5.3 Ориентируемые поверхности . . . . . . . . . . . . . . 62 5.4 Нормальная и геодезическая кривизны на поверхности 64 5.5 Вторая квадратичная форма . . . . . . . . . . . . . . 66 5.6 Индикатриса Дюпена. Главные кривизны . . . . . . . 68 5.7 Соприкасающийся параболоид . . . . . . . . . . . . . 70 5.8 Вычисление кривизн поверхности . . . . . . . . . . . 72 5.9 Деривационные формулы Гаусса . . . . . . . . . . . . 73 6 ГЕОМЕТРИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ 77 6.1 Ковариантная производная и ее свойства . . . . . . . 77 6.2 Параллельный перенос . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 6.3 Геодезические . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.4 Пример: Геометрия двумерной сферы . . . . . . . . . 86 6.5 Вариационные свойства геодезических . . . . . . . . . 89 6.6 Возможные обобщения на многообразия . . . . . . . . 93 6.7 Пример: Элементы планиметрии Лобачевского . . . . 95 ЛИТЕРАТУРА 99