Элементарное введение в функциональные уравнения. Книга для начинающих изучать функциональные уравнения и преподавателей

Description

Книга «Элементарное введение в функциональные уравнения» предназначена для начинающих изучать функциональные уравнения и преподавателей. Она может быть использована как для проведения факультативных занятий, так и для ее самостоятельного изучения учащимися. Из авторского предисловия: Книга «Элементарное введение в функциональные уравнения» предназначена для учащихся математических классов средних школ, студентов математических факультетов и учителей математики. Она может быть использована в процессе изучения курса «Математический анализ», для проведения факультативного курса «Элементарное введение в функциональные уравнения», при индивидуальной работе со способными учениками и студентами младших курсов с целью привлечения их к творческой работе. Для усвоения материала предлагаемой книги, в основном, достаточно знания школьного курса «Начала анализа». Книга содержит большое количество задач, связанных с теорией функциональных уравнений, и в их числе задачи, предлагавшиеся на различных математических олимпиадах учащихся школ и студентов вузов. Функциональные уравнения являются одним из старых, но до сих пор малоизученных разделов математического анализа. С одной стороны, изучение функциональных уравнений требует только знания основных понятий математического анализа и поэтому они представляют интерес для большинства учащихся математических классов и студентов математических факультетов, но, с другой стороны, решение отдельных функциональных уравнений требует тонкого понимания основных вопросов анализа и искусного их применения. Последнее обстоятельство делает изучение функциональных уравнений ценным еще и потому, что позволяет дать способным учащимся возможность испытать свои силы в самостоятельной творческой работе. Предлагаемая книга содержит элементарное введение в теорию функциональных уравнений функций одной переменной. Она включает в себя “Введение” и четыре раздела: 1. Функциональные уравнения, не содержащие свободных переменных. 2. Функциональные уравнения, содержащие свободные переменные. 3. Определение основных элементарных функций с помощью функциональных уравнений. 4. Разностные уравнения. Учитывая различный уровень в математической подготовке читателей, во введении сформулированы основные понятия математического анализа, которые наиболее активно используются в книге. В конце введения приведена минимальная информация о дифференциальных уравнениях, необходимая при решении функциональных уравнений путем их сведения к дифференциальным уравнениям. Центральной частью книги являются первая и вторая главы, в которых изложены основные методы решения функциональных уравнений. Это изложение иллюстрируется большим числом разобранных примеров. Третья глава дает представление об одном из важных теоретических приложений функциональных уравнений — определении основных элементарных функций. Особое место в книге по методам исследования занимает четвертая глава, посвященная разностным уравнениям, которые играют большую роль в прикладной математике. К сожалению, ни объем книги, ни математическая подготовка предполагаемого читателя книги не позволили рассмотреть вопросы, связанные с использованием разностных уравнений при приближенном решении дифференциальных уравнений. В конце книги приведены упражнения. Они содержат большое число задач для самостоятельной работы читателей. Сюда включены и задачи, предлагавшиеся на различных престижных олимпиадах учащихся и студентов. Учитывая, что многие из олимпиадных задач представляют собой серьезные проблемы и могут вызвать затруднения у некоторых читателей, в книге приведены не только ответы к их решениям, по и полные решения. Задачи этого класса в книге отмечены символом *.