Álgebra Lineal

Description

El libro de Fernando Barrera Mora está dedicado al álgebra lineal para un primer curso de licenciatura en matemáticas, ingeniería y áreas afines. El primer punto que me gustaría hacer notar es que el libro privilegia el empezar con problemas concretos que se nos presentan tanto en nuestra vida cotidiana, como en economía, empresas productivas, etcétera. A partir de estos problemas concretos se empieza a elaborar sobre los ingredientes presentes, que facilitan la visualización del estudiante sobre estos componentes cuando son planteados de manera general. Asimismo, estos problemas concretos que se estudian sirven para establecer tanto los métodos como la teoría necesaria, ya sea para resolverlos, estudiarlos o ubicarlos en un contexto más general. Un punto de vista valioso a resaltar en este trabajo es el tratamiento que se hace de lo que podríamos llamar la “teoría propia”, esto es, la teoría que trata sobre los valores y los vectores propios. 1. Sistemas de ecuaciones lineales 1.1. Ejemplos 1.2. Sistemas de ecuaciones lineales y su representación geométrica 1.3. Conceptos fundamentales y método de reducción de Gauss-Jordan 1.3.1. Análisis de las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales 1.3.2. Ejemplos con Maple 1.4. Ejercicios 2. Matrices 2.1. Operaciones con matrices 2.1.1. Suma de matrices 2.1.2. Producto de matrices 2.1.3. Propiedades de la suma y producto de matrices 2.2. Matrices elementales e inversas 2.2.1. Cálculo de la inversa de una matriz 2.3. Aplicaciones 2.4. Matrices enteras 2.5. Ejercicios 3. Espacios vectoriales 3.1. Vectores en R 2 y R 3 3.2. Combinaciones lineales y dependencia lineal 3.2.1. Ejercicios 3.3. Aspectos geométricos de R 2 y R 3 vía álgebra lineal 3.3.1. Norma y producto interno 3.3.2. Proyección ortogonal de un vector sobre otro 3.3.3. Producto cruz de vectores 3.3.4. Ecuación de un plano 3.3.5. Ejercicios 3.4. El espacio vectorial R n 3.4.1. Subespacios 3.4.2. Operaciones con subespacios 3.5. Espacios vectoriales generales 3.6. Ejercicios 4. Transformaciones lineales y matrices 4.1. Defi niciones y resultados básicos 4.2. Transformaciones lineales geométricas 4.3. Rango y núcleo de una transformación lineal 4.4. Matrices y transformaciones lineales 4.4.1. Matrices de cambio de base 4.4.2. El espacio de las transformaciones lineales 4.5. Ejercicios 5. Determinantes 5.1. Determinantes y volúmenes de paralelepípedos 5.1.1. Propiedades del determinante 5.1.2. Existencia y unicidad del determinante 5.2. Regla de Cramer, menores y cofactores 5.3. Determinantes y ecuaciones diferenciales 5.4. Ejercicios 6. Eigenteoría: estructura de operadores 6.1. Defi niciones y resultados básicos 6.1.1. El polinomio mínimo 6.2. Valores y vectores característicos 6.2.1. Calculando el polinomio mínimo 6.3. Forma canónica de Jordan 6.4. Matrices reales con valores característicos no reales 6.4.1. Matrices 2 ? 2 6.4.2. Matrices reales con valores característicos diferentes 6.5. Aplicaciones 6.5.1. Especies que interactúan 6.5.2. Sistemas dinámicos lineales discretos 6.5.3. Sistema de masas acopladas con resortes 6.6. Ejercicios 7. Espacios con producto interno 7.1. Aspectos geométricos de un espacio vectorial 7.1.1. Método de mínimos cuadrados 7.2. Espacios vectoriales complejos 7.3. Formas cuadráticas y bilineales 7.3.1. Formas cuadráticas 7.3.2. Teorema de los ejes principales 7.3.3. Matrices positivas defi nidas 7.4. Operadores adjuntos y normales 7.5. Ejercicios