Численный расчет одномерных упругопластических течений (лабораторная работа): Учебно-методическое пособие

Description

Лабораторная работа направлена на формирование навыков проведения численных исследований процессов упругопластического деформирования в рамках известной схемы М.Уилкинса. Студенту предлагается на примере одномерной модели упругоидеальнопластического течения разработать дискретную модель, компьютерную программу, получить решения задач упругого и упругопластического деформирования материалов и конструкций, сравнить полученные численные решения с аналитическими решениями задач. Особое внимание уделяется анализу сходимости численных решений при измельчении разностной сетки. В приложениях приведены текст программы на языке программирования С++ в сопоставлении с соотношениями разностной схемы, таблица параметров материалов. Предназначено для студентов, обучающихся по направлению подготовки 010303 «Механика и математическое моделирование». 1. Одномерные упругопластические течения 1.1. Математическая постановка задачи [1] 1.2. Задание 1 (плоская симметрия) 1.3. Задание 2 (цилиндрическая симметрия) 1.3. Задание 3 (сферическая симметрия) 2. Пример выполнения задания 1 (плоская симметрия) 2.1. Записать математическую постановку начально-краевой задачи о действии постоянного нормального напряжения на границе расчетной области Система дифференциальных уравнений в частных производных в переменных Лагранжа, описывающая упругопластической деформирование в случае плоской симметрии записывается следующим образом: 2.2. Для заданных параметров материала определить предельное напряжение на границе области, при котором не возникает пластических деформаций 2.2. Исследовать влияние линейной вязкости на численное решение задачи, полагая деформирование упругим 2.3. Исследовать сходимость численного решения упругой задачи при измельчении разностной сетки На рис. 2 приведено распределение радиальной компоненты тензора напряжений (с обратным знаком) вдоль координаты r в момент времени t=0.4 мс при количестве ячеек разностной сетки 60, 120, 240 и 480. Отметим поведение фронта волны, полученной в численном решении, аналогичное действию искусственной вязкости и связанное с действием схемной вязкости или погрешности аппроксимации. Чем больше количество ячеек разностной сетки, тем ближе фронт волны к вертикальному, соответствующему аналитическому решению. 2.4. Получить распределение напряжений вдоль пространственной координаты в два момента времени в упругой и упругопластической постановке 2.5. Осуществить переход к безразмерным величинам 3. Пример выполнения задания 2 (цилиндрическая симметрия) 3.1. Записать математическую постановку и решение в перемещениях краевой задачи о действии постоянного нормального напряжения на внутренней поверхности полого цилиндра (задача Ламэ) 3.2. Записать математическую постановку начально-краевой задачи о действии постоянного нормального напряжения на внутренней поверхности полого цилиндра Система дифференциальных уравнений в частных производных в переменных Лагранжа, описывающая упругопластической деформирование в случае цилиндрической симметрии записывается следующим образом: 3.3. Для заданных параметров материала определить предельное напряжение на внутренней поверхности полого цилиндра, при котором не возникает пластических деформаций 3.4. Исследовать влияние формы граничного импульса напряжения на численное решение задачи, полагая деформирование упругим 3.5. Исследовать сходимость численного решения упругой задачи при измельчении разностной сетки На рис. 7 представлены временные зависимости окружного напряжения на внутренней поверхности оболочки при количестве ячеек разностной сетки =10, 20, 40, 80. Близость результатов при уменьшении размеров ячеек разностной сетки свидетельствует о сходимости численных расчетов. Отличие результатов, например, при =40 и 80 определяет погрешность численных расчетов. 3.6. Сравнить численное решение упругой задачи с аналитическим распределением напряжений вдоль пространственной координаты в размерном и безразмерном виде 3.7. Получить численные решения задачи в упругопластической постановке при различных значениях напряжения на внутренней поверхности цилиндра 4. Пример выполнения задания 3 (сферическая симметрия) 4.1. Записать математическую постановку и решение в перемещениях краевой задачи о действии постоянного нормального напряжения на внутренней поверхности полой сферы (статическая задача) 4.2. Записать математическую постановку начально-краевой задачи о действии постоянного нормального напряжения на границе сферической расчетной области Система дифференциальных уравнений в частных производных в переменных Лагранжа, описывающая упругопластической деформирование в случае сферической симметрии записывается следующим образом: 4.3. Для заданных параметров материала определить предельное напряжение на поверхности полой сферы, при котором не возникает пластических деформаций 4.4. Исследовать влияние формы граничного импульса напряжения на численное решение задачи, полагая деформирование упругим 4.5. Исследовать сходимость численного решения упругой задачи при измельчении разностной сетки 4.6. Сравнить численное решение упругой задачи с аналитическим распределением напряжений вдоль пространственной координаты в размерном и безразмерном виде 4.7. Получить численные решения задачи в упругопластической постановке при различных значениях напряжения на внутренней поверхности сферы 4.8. Записать математическую постановку начально-краевой задачи о действии постоянной скорости на границе сферической расчетной области Система дифференциальных уравнений в частных производных в переменных Лагранжа, описывающая упругопластической деформирование в случае сферической симметрии записывается следующим образом: 4.9. Получить решение задачи: распределение скорости и напряжения вдоль координаты в три момента времени в размерном виде 4.10. Получить решение задачи: распределение скорости и напряжения вдоль координаты в три момента времени в безразмерном виде, сравнить решение с точным из лабораторной работы 1 Приложение 1 Реализация конечно-разностных уравнений в программном коде Приложение 2 Параметры, характеризующие сопротивление упругому и пластическому деформированию материалов [4, 5] Литература