Um Curso de Álgebra Linear

Description

Desenvolvido a partir da experiência docente dos autores, o livro tem como principal objetivo trabalhar os conceitos de álgebra linear, visando sua utilização também em outras áreas. Para tanto, estudam-se os espaços vetoriais sobre corpos em geral, incluindo, por exemplo, o conjunto dos números complexos, além do conjunto dos números reais. O enfoque é fundamentalmente algébrico, porém contemplando também os aspectos geométricos, abordagem que permite ressaltar os conceitos formais que norteiam a teoria. O livro aplica-se ao ensino em nível de graduação e de pós-graduação, especialmente nos cursos de matemática e de física. Sumário Prefácio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1 Números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2 Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 20 1.3 Resolução de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2. Espaços Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1 Espaços Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 45 2.3 Espaços Vetoriais Finitamente Gerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.4 Subespaços . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.5 Métodos Práticos para Completamento de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.6 Somas Diretas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.7 Espaços Quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.8 Apêndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3. Transformações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.1 Conceitos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.2 O Núcleo e a Imagem de uma Transformação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.3 Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.4 Matrizes de Transformações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.5 O Espaço L(U, V ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4. Funcionais Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.1 O Espaço Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.2 O Espaço Bidual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.3 Hiperplanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.4 Anuladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.5 Transpostas de Transformações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5. Formas Canônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 5.1 Operadores Diagonalizáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.2 Subespaços T -invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 5.3 Polinômios Minimais de operadores e o Teorema de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5.4 Espaços vetoriais T -ćıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.5 Operadores Nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 5.6 Formas de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 6. Espaços com Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 6.1 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 6.2 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 6.3 Subespaço Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 6.4 A Melhor Aproximação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 6.5 Transformações que Preservam Produtos Internos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 7. Adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 7.1 Funcionais Lineares e Adjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 7.2 Autoadjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 7.3 Operadores Unitários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 7.4 Operadores Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 8. Formas Bilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 8.1 Formas Bilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 8.2 Formas Simétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 8.3 Formas Quadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 8.4 Reconhecimento de Quádricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 Índice Remissivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 Sobre os Autores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263