Искусство доказательства в математике

Description

Пер. с англ. В. С. Яценкова. Чего от вас ждут, когда просят что-то доказать? Что отличает правильное доказательство от неправильного? Эта книга поможет вам узнать ответы и разъяснит основные принципы, используемые при построении доказательств. В отличие от школьного подхода к доказательствам как к пронумерованному списку утверждений и причин, в настоящем издании используется структурированный подход, характерный для программирования: математические доказательства также строятся путем объединения некоторых базовых структур. Выбор структуры определяется логической формой доказываемого утверждения, поэтому в начале книги рассматривается элементарная логика и читатель знакомится с различными формами математических выражений. Далее обсуждаются отношения, функции, математическая индукция и более сложные математические темы, в частности теория чисел. В конце разделов каждой главы представлен список упражнений, для части которых приводятся решения или подсказки. Издание адресовано всем, кто интересуется логикой и доказательствами: математикам, специалистам по информатике, философам, лингвистам. Искусство доказательств в математике_переплет Искусство доказательства в математике.pdf От издательства Предисловие к третьему изданию Введение Глава 1. Пропозициональная логика 1.1. Дедуктивное мышление и логические связки 1.2. Таблицы истинности 1.3. Переменные и множества 1.4. Операции над множествами 1.5. Условные и равнозначные связки Упражнения Глава 2. Кванторная логика 2.1. Кванторы 2.2. Эквивалентности, включающие кванторы 2.3. Другие операции с множествами Глава 3. Доказательства 3.1. Стратегии доказательства 3.2. Доказательства, связанные с отрицаниями и условиями 3.3. Доказательства с использованием кванторов 3.4. Доказательства с использованием конъюнкций и равносильностей 3.5 Доказательство дизъюнкций 3.6. Доказательства существования и единственности 3.7. Более сложные примеры доказательств Глава 4. Соответствия 4.1. Упорядоченные пары и декартовы произведения 4.2. Соответствия 4.3. Подробнее о соответствиях 4.4. Отношения порядка 4.5. Отношения эквивалентности Глава 5. Функции 5.1. Определение функции 5.2. Однозначность и сюръективность 5.3. Инверсия функций 5.4. Замкнутые множества 5.5. Образы и прообразы: исследовательский проект Глава 6. Математическая индукция 6.1. Доказательство путем математической индукции 6.2. Дополнительные примеры 6.3. Рекурсия 6.4. Сильная индукция 6.5. Вновь про замыкания Глава 7. Теория чисел 7.1. Наибольшие общие делители 7.2. Простые множители 7.3. Модульная арифметика 7.4. Теорема Эйлера 7.5. Криптография с открытым ключом Глава 8. Бесконечные множества 8.1. Равномощные множества 8.2. Счетные и несчетные множества 8.3. Теорема Кантора–Шредера–Бернштейна Приложение. Решения некоторых упражнений Дополнительные материалы Краткое изложение методов доказательства Предметный указатель