Обновленный курс обыкновенных дифференциальных уравнений: Учебное пособие для вузов

Description

Книга посвящена основным разделам теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Более полно рассмотрены краевые задачи для уравнений второго порядка, теория устойчивости, нелинейные колебания и группы Ли. Использование компьютерной системы Maple и групп Ли существенно расширяет возможности исследования традиционных задач курса. Книга предназначена студентам университетов и технических вузов, а также читателям, которые изучают теорию обыкновенных дифференциальных уравнений или используют их в своей практической деятельности. Предисловие ко второму изданию Введение ГЛАВА 1. Классификация уравнений. Анализ решений 1. Дифференциальные уравнения и их решения 1.1. Уравнения 1.2. Поле направлений, решение и интеграл дифференциального уравнения 2. Решение уравнений и интегральные линии 2.1. Анализ уравнения y′ = f (x) 2.2. Рекомендации по практическим методам решения уравнений 3. Основные свойства простейших уравнений 3.1. Уравнения с разделёнными переменными 3.2. Уравнения с разделяющимися переменными 3.3. Линейные уравнения 4. Простейшие нелинейные уравнения 4.1. Уравнение Бернулли 4.2. Уравнение Рикатти 4.3. Уравнения в полных дифференциалах 4.4. Геометрическая интерпретация 4.5. Интегрирующий множитель 5. Общий метод введения параметра 5.1. Уравнение Лагранжа 5.2. Уравнение Клеро ГЛАВА 2. Задача Коши для уравнений первого порядка 1. Теоремы существования решений задачи Коши 1.1. Основные определения. Теоремы Пеано и Осгуда 1.2. Теорема Коши 1.3. Продолженные и разрывные решения задачи Коши 2. Зависимость решений задачи Коши от параметров 3. Зависимость решения от начальных данных. Общее решение уравнения первого порядка 3.1. Зависимость решения от начальных данных 3.2. Общее решение уравнения в нормальной форме Коши 3.3. Уравнения, не разрешённые относительно производной 4. Особые точки и особые решения 4.1. Особые точки 4.2. Особые и предельные решения уравнения в нормальной форме Коши 5. Особые и предельные решения нелинейных уравнений 5.1. Анализ простейших примеров 5.2. Особые решения по Петровскому 5.3. Огибающая семейства параметрически заданных линий на плоскости 6. Свойства семейств неявно заданных линий 6.1. Неявно заданные кривые на плосткости 6.2. Особые точки пересечения кривых семейства и предельные точки 7. Особые интегральные линии 7.1. Кривая касаний и некоторые её свойства 7.2. с-дискриминантная кривая и её свойства 8. Выводы ГЛАВА 3. Уравнения второго порядка 1. Интегральные линии и решения. Примеры 2. Задача Коши 3. Аналитические решения уравнений второго порядка 3.1. Уравнения с колеблющимися решениями 3.2. Интегрирование уравнений с помощью степенных рядов 4. Краевые задачи. Функция Грина 4.1. Стандартная форма уравнения 4.2. Краевая задачи и функция Грина 4.3. Краевая задача для неоднородного уравнения 5. Собственные значения и интегральные уравнения 5.1. Собственные значения и собственные функции 5.2. Билинейные функционалы G(X1, X2) и H(X1 ,X2) 5.3. Сравнение собственных значений различных краевых задач 5.4. Интегральные уравнения ГЛАВА 4. Уравнения n-го порядка 1. Линейные уравнения 1.1.Общие свойства линейных однородных уравнений 1.2. Линейные неоднородные уравнения 2. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 2.1. Однородные уравнения с постоянными коэффициентами 2.2. Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами 3. Нелинейные уравнения 3.1. Промежуточный интеграл 3.2. Уравнения, допускающие понижение порядка ГЛАВА 5. Системы дифференциальных уравнений 1. Системы линейных уравнений 1.1. Основные понятия и определения 1.2. Системы линейных однородных уравнений 2. Системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами 2.1. Алгебраический способ решения 2.2. Применение функций от матриц 3. Системы линейных неоднородных уравнений 4. Теорема существования и единственности решения 4.1. Теорема Коши 4.2. Основные следствия 4.3. Теорема Коши для линейных систем 5. Нелинейные системы уравнений первого порядка 5.1. Основные свойства системы в нормальной форме 5.2. Фазовое пространство и фазовые траектории 5.3. Интегралы системы уравнений 5.4. Понижение порядка систем с помощью первых интегралов 5.5. Симметричная форма системы уравнений 6. Уравнение Риккати и линейные системы второго порядка 6.1. Уравнение Риккати и линейные системы 7. Уравнения с разрывной правой частью 7.1. Вводные замечания 7.2. Уравнения с правой частью, разрывной по x 7.3. Уравнения Каратеодори 7.4. Свойства решений ГЛАВА 6. Основы теории устойчивости 1. Устойчивость по Ляпунову. Основные определения 2. Устойчивость линейных систем 2.1. Общие теоремы об устойчивости линейных нестационарных систем 2.2. Устойчивость линейных стационарных систем 2.3. Устойчивость линейных нестационарных систем 3. Устойчивость специальных линейных систем 3.1. Линейные системы с периодическими коэффициентами 3.2. Линейные системы с почти постоянной матрицей 4. Критерии устойчивости 4.1. Критерий Гурвица. Область устойчивости 4.2. Критерий Михайлова 5. Устойчивость нелинейных систем 5.1. Функции Ляпунова 5.2. Теоремы Ляпунова 5.3. Обобщения теорем Ляпунова 6. Устойчивость по первому приближению 6.1. Теоремы Ляпунова ГЛАВА 7. Периодические решения нелинейных систем 1. Переодические решения автономных систем 1.1. Периодические решения квазилинейных автономных систем 1.2. Метод Крылова 1.3. Метод Ван-дер-Поля 1.4. Метод Крылова — Боголюбова 2. Метод гармоничной линеарнизации 3. Вынужденные колебания нелинейных систем 3.1. Метод Пуанкаре 3.2. Особый случай ГЛАВА 8. Уравнения с частными производными первого порядка 1. Основные задачи интегрирования уравнений с частными производными 2. Линейные однородные уравнения первого порядка 2.1. Общее решение 2.2. Задача Коши 3. Квазилинейные уравнения 3.1. Случай двух независимых переменных 3.2. Задача Коши для уравнения с двумя независимыми переменными 3.3. Квазилинейные уравнения. Общий случай 3.4. Решение задачи Коши 4. Системы двух уравнений первого порядка 4.1. Условия разрешимости 4.2. Построение решения 5. Уравнение Пфаффа 5.1. Думерное интегральное многообразие 5.2. Не вполне интегрируемое уравнение Пфаффа 5.3. Пфаффовы формы ГЛАВА 9. Групповой анализ дифференциальных уравнений 1. Группы точечных преобразований 1.1. Основные определения и теоремы 1.2. Инфинитезимальный оператор и инварианты группы 2. Интегрирование уравнения, допускающего группу 2.1. Продолжение группы и инфинитезимального оператора 2.2. Уравнения, допускающие группу 2.3. Интегрирование уравнения первого порядка 2.3.1. Первый способ (замена переменных) 2.3.2. Второй способ (построение интегрирующего множителя) 2.4. Интегрирование уравнения второго порядка 3. Дифференциальные уравнения и допускаемые ими группы 3.1. Определяющее уравнение. Алгебры Ли 4. Фундаментальная система решений 4.1. Заключение ГЛАВА 10. Доклад на заседании семинара кафедры Введение 1. Поле направлений, интегральные линии, решения 2. Зависимость решений от параметров, классификация решений 3. Уравнение Риккати и линейные системы 4. Уравнения в полных дифференциалах 5. Решение систем уравнений с постоянными коэффициентами Литература Предметный указатель Команды Maple