Lezioni di Analisi Matematica, Con Esercizi Svolti e Proposti

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Capitolo I° ..................................................................................................................... 3 CALCOLO COMBINATORIO ....................................................................................... 3 1. Disposizioni semplici, permutazioni semplici, combinazioni semplici. ........ 3 2. Disposizioni e combinazioni con ripetizione ................................................ 7 3. Binomio di Newton ....................................................................................... 9 4. Coefficienti binomiali .................................................................................... 9 ESERCIZI SVOLTI .................................................................................................. 11 ESERCIZI PROPOSTI ............................................................................................. 13 Capitolo II.................................................................................................................... 15 DETERMINANTI ....................................................................................................... 15 1. Matrici e determinanti ............................................................................... 15 2. Proprietà dei determinanti. ........................................................................ 17 3. Sviluppo di un determinante ...................................................................... 18 ESERCIZI SVOLTI .................................................................................................. 20 ESERCIZI PROPOSTI ............................................................................................. 23 Capitolo III° ................................................................................................................. 25 SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI .............................................................................. 25 1. Premesse. ................................................................................................... 25 2. Caratteristica di una matrice. ..................................................................... 25 3. Sistemi normali - Regola di Cramer ............................................................ 26 4. Sistemi lineari di 𝒎 equazioni ad 𝒏 incognite. ........................................... 27 5. Sistemi lineari omogenei ............................................................................ 30 ESERCIZI SVOLTI .................................................................................................. 32 ESERCIZI PROPOSTI ............................................................................................. 37 Capitolo IV° ................................................................................................................. 39 INSIEMI ................................................................................................................... 39 1. Notazioni. Appartenenza. Inclusione. Parti di un insieme. ........................ 39 2. Unione, Intersezione, Complementare, Partizione .................................... 40 3. Prodotto cartesiano .................................................................................... 42 186 4. Applicazione, applicazione suriettiva, iniettiva, biiettiva e inversa ............ 43 5. Applicazione composta. .............................................................................. 45 6. Immagine diretta e inversa di una parte e di una famiglia di parti. Codominio di un’applicazione. ........................................................................... 46 7. Restrizione e prolungamento di una applicazione. .................................... 47 8. Successioni .................................................................................................. 48 9. Insiemi numerabili. ..................................................................................... 48 10. I simboli ⇒,⟺,∀ .................................................................................... 49 11. Insiemi di numeri reali. Estremi superiore e inferiore. .......................... 50 12. Funzioni monotone ................................................................................ 56 ESERCIZI SVOLTI ...................................................................................................... 58 ESERCIZI PROPOSTI ............................................................................................. 62 Capitolo V° .................................................................................................................. 65 NOZIONI DI TOPOLOGIA IN ℝ𝒏 .............................................................................. 65 1. Insiemi aperti in ℝ𝒏. .................................................................................. 65 2. Insiemi chiusi in ℝ𝒏 .................................................................................... 67 3. Intorni in ℝ𝒏. .............................................................................................. 68 4. Punti interni, frontiera, accumulazione, isolati, di aderenza. Interno, frontiera, aderenza di un insieme. Insiemi densi. .............................................. 68 5. Insiemi compatti in ℝ𝒏 ............................................................................... 70 6. Insiemi connessi in ℝ𝒏 . ............................................................................. 72 ESERCIZI SVOLTI .................................................................................................. 72 ESERCIZI PROPOSTI ............................................................................................. 75 Capitolo IV° ................................................................................................................. 76 LIMITI ...................................................................................................................... 76 1. Limite di una applicazione in un punto ...................................................... 76 2. Limite delle restrizioni. ............................................................................... 78 3. Limite destro e sinistro. .............................................................................. 79 4. Proprietà delle funzioni a valori reali nella operazione di limite. ............... 80 5. Ampliamento di ℝ . .................................................................................... 84 6. Limiti delle successioni. .............................................................................. 88 187 7. Limiti delle funzioni monotone. ................................................................. 93 8. Criterio di Cauchy ....................................................................................... 94 9. Calcolo di alcuni limi ti di notevole importanza. ........................................ 95 ESERCIZI SVOLTI ................................................................................................ 106 ESERCIZI PROPOSTI ........................................................................................... 113 Capitolo VII ............................................................................................................... 116 CONTINUITÀ ......................................................................................................... 116 1. Continuità di una applicazione. ................................................................ 116 2. Continuità a destra e a sinistra. Discontinuità.......................................... 117 3. Continuità delle funzioni a valori reali. ..................................................... 118 4. Continuità di alcune funzioni particolari. ................................................. 118 5. Proprietà generali delle funzioni continue ............................................... 119 6. Le inverse di alcune funzioni elementari. ................................................. 124 7. Continuità uniforme. ................................................................................ 125 ESERCIZI SVOLTI ................................................................................................ 127 ESERCIZI PROPOSTI ........................................................................................... 130 Capitolo VIII° ............................................................................................................. 133 SERIE ..................................................................................................................... 133 1. Definizioni. ................................................................................................ 133 2. Criterio di convergenza ............................................................................. 134 3. Sul comportamento della serie. ............................................................... 135 4. Serie a termini positivi. ............................................................................. 135 5. Serie a segni alternativamente positivi e negativi .................................... 139 6. Serie a termini di segno qualunque. ......................................................... 140 7. Somma e prodotto di serie. ...................................................................... 144 ESERCIZI SVOLTI ................................................................................................ 144 ESERCIZI PROPOSTI ........................................................................................... 149 ESERCIZI DI RIEPILOGO ............................................................................................. 151 1. Esercizi su argomenti del Cap. I°. .............................................................. 151 2. Esercizi su argomenti dei Cap. II°, III°. ...................................................... 153 188 3. Esercizi su argomenti del Cap. IV°. ........................................................... 158 4. Esercizi sulle disequazioni. ....................................................................... 163 5. Esercizi su argomenti del Cap. V°. ............................................................ 167 6. Esercizi su argomenti dei Cap. Vl°, Vll°. .................................................... 170 7. Esercizi su argomenti del Cap. Vlll°. .......................................................... 178