Lectures on the Coupling Method

Description

New York: Dover Publications, 1992. ISBN 13: 9780486421452 ISBN 10: 0486421457 Язык: Английский Страниц в печатном издании: 272, PDF: 263 Другое издание: New York: Wiley, 1992, 257 стр.Метод склеивания (каплинг-метод)В последние годы большое развитие получил один из мощных и изящных методов теории вероятностей — метод одного вероятностного пространства (о.в.п.)[common probability space (c.p.s.).].Этот метод предлагает для оценивания близости двух распределений построить на о.в.п. пару случайных элементов с этими распределениями так, чтобы они были близки друг к другу (или даже совпадали) с возможно большей вероятностью. Оценки для расстояния между построенными случайными элементами позволяют затем оценить и расстояние между самими распределениями. Оказывается, в ряде случаев такой подход оказывается наиболее простым и эффективным одновременно. Среди известных глубоких результатов в этом направлении упомянем теоремы Скорохода о представлении (для слабо сходящейся последовательности распределений Рn стремится к Рo можно построить на о.в.п. последовательность случайных элементов Хn с распределениями Рn, такую, что Хn стремится к Хo почти наверное) и о вложении случайных величин в винеровский процесс, оценки для скорости сходимости в принципе инвариантности, выросшее за последнее время целое направление под названием «сильные аппроксимации», смежные результаты теории вероятностных метрик (сюда относятся,например, утверждения о «максимальном каплинге»(maximal coupling), как они называются в рецензируемой книге), ряд теорем об эргодичности различных процессов. Для доказательства последних и предназначен в первую очередь каплинг в собственном смысле этого слова. Грубо говоря, это «слипание»(sticking), начиная с некоторого момента времени (который называется моментом каплинга), траекторий двух процессов. Именно этому специальному случаю метода о.в.п. и посвящена главным образом рецензируемая книга Торгни Линдвалла. Книга, определяемая автором как «разумного размера изложение многих возможностей каплинг-метода», предназначена для чтения курсов и проведения семинаров для специальностей математика, статистика и исследование операций. Кроме того, она может служить и в качестве справочника (тем более что каждый ее раздел заканчивается полезными библиографическими замечаниями).1я глава: Каплинг двух вероятностных мер Р, Р' на измеримом пространстве (Е, e) определяется как (совместное) распределение Р~ на (Е^2,e^2), маргинальные распределения которого совпадают с Р и Р' соответственно. Иначе, каплингом случайных элементов X и X' названо построение случайного элемента (Х~,Х'~), такого, что X~ =(D)= X, X'~ =(D)= X'. Однако, в последующем речь идет главным образом именно о каплинге в более узком смысле этого термина: о таком построении элемента (X~, X'~), при котором с большой вероятностью выполняется X~ = X'~ либо аналогичное соотношение для каких-либо функционалов от Х~,Х'~ (а также о «слабых вариантах» таких конструкций). Такое сильное утверждение приводит к оценкам в норме полной вариации ||*|| для соответствующих распределений.Далее - рецензия и краткое изложение К.А. Боровкова из журнала Theory of Probability and Its Applications (TVP) (на английском, начинается внизу 1й страницы): http://fgf1.i.ua/g/721d6.721d6.ba4f2.1.616b2fb.1/V39_734_736.pdfКнига будет очень полезна тем, кто занимается марковскими процессами(цепи маркова).Содержание:Introduction three examples an Outline notes Preliminarities what is Coupling? the coupling inequality rates of convergence weak coupling the y coupling the polish assumption notes Discrete Theory Renewal theory basics stationarity. the coupling. the discrete renewal theorem finite moments of T renewal sequences notes Markov Chains notation positive recurrent chains null-recurrent chains an observation notes Random walk the Ornstein coupling null-recurrent markov chains the mineka coupling blocks the harris random walk a multidimensional random walk notes Card shuffling basics "top to random" shuffling notes Poisson Approximation basics another simple coupling the stein-chen method an example notes Contionious theory Renewal theory basics stationarity blackwell's renewal theorem bounds for U an exact coupling finite moments of T. Rate results notes Harris chains basics Harris chains regeneration and stationarity ergodicity random walk notes Maximal coupling the couplig. Goldstein's theorem from weak to strong coupling notes Regenerative processes basics.Stationarity coupling of Regenerative processes notes On markov processes some remarks ergodicity notes Inequalities Strassen's theorem basics the theorem alternative formulations notes Domination the general result monotonicity and convergence notes domination and monotonicity of markov process basics a monotonicity result Examples of domination direct constructions percolation Bernstein Polynomials increasing power functions cox processes notesIntensity-governed processes Birth and death processes basics ergodicity rates domination and monotonicity notes General Birth and death processes basics ergodicity networks propagations notes Interacting particle systems A Singpost. Basics and examples the Vasershtein coupling attractiveness and monotonicity on the example processes notes Embedding in Poisson Processes a multivariate exponential distribution embedding in a bivariate Poisson process Urns and Boxes on free parking spaces notes More Renewal theory basics the DFR case the IFR case notes On a class of point processes basics on the DFR concept the (A,m) Processes notes Diffusions One-Dimensional Processes basics ergodicity / closed ergodicity / not closed the strong Feller property domination notes Multidimensional Processes basics Brownian motion radial drift another reflection coupling notes APPENDIX Polish spaces a quick survey the Banach space bM(s) notes Epilogue some history