Analyse matricielle Cours et exercices résolus - 2e édition augmentée

Description

Cette deuxième édition du livre "Analyse matricielle" est corrigée et augmentée d'un chapitre sur les matrices réelles positives et stochastiques. Cet ouvrage est consacré à l'étude de l'espace vectoriel Mn (K) des matrices carrées à coefficients réels ou complexes du point de vue algébrique et topologique, préalable nécessaire à tout cours d'analyse numérique. La synthèse réalisée par l'auteur permet aux étudiants d'approfondir leurs connaissances sur les espaces vectoriels normés et l'algèbre linéaire, des notions de base en algèbre linéaire et en topologie étant suffisantes pour la lecture de ce livre. Le public visé est celui des candidats à l'agrégation (interne et externe) et également celui des étudiants de licence et maîtrise de mathématiques. Chaque chapitre est suivi d'une série d'exercices corrigés. Les résultats classiques sont illustrés par des exemples qui peuvent trouver leur place dans les leçons d'oral des concours. Analyse matricielle Table des matières Avant-propos Chapitre 1 - Polynômes minimal et caractéristique. Sous espaces caractéristiques 1.1 Définitions et premières propriétés 1.2 Localisation des valeurs propres d’une matrice complexe 1.3 Matrice compagnon d’un polynôme 1.4 Le théorème de Cayley-Hamilton 1.5 Méthodes de calcul du polynôme caractéristique d’une matrice complexe 1.6 Sous espaces caractéristiques 1.7 Exercices Chapitre 2 - Réduction des endomorphismes et des matrices 2.1 Trigonalisation 2.2 Diagonalisation 2.4 Réduction des matrices orthogonales 2.5 Réduction des matrices symétriques réelles 2.6 Tridiagonalisation des matrices symétriques réelles. Méthode de Householder 2.8 Réduction des matrices normales 2.9 Forme réduite de Jordan 2.10 Exercices Chapitre 3 - L’espace vectoriel normé Mn (K) (K = R ou C) 3.1 Norme matricielle induite par une norme vectorielle 3.2 Le groupe topologique GLn (K) 3.3 Propriétés topologiques de l’ensemble des matrices diagonalisables de Mn(C) 3.4 Rayon spectral d’une matrice complexe 3.5 Conditionnement d’une matrice 3.6 Quotient de Rayleigh-Ritz et Hausdorffien 3.7 Conditionnement des problèmes de valeurs propres 3.8 Exercices Chapitre 4 - Matrices positives etirréductibles 4.1 Matrices positives 4.2 Matrices strictement positives et théorème de Perron-Frobenius 4.3 Matrices irréductibles 4.4 Matrices primitives 4.5 Matrices stochastiques et bistochastiques 4.6 Exercices Chapitre 5 - Systèmes linéaires 5.1 Position des problèmes et notations 5.2 Problèmes numériques liés à la résolution des systèmes linéaires 5.3 Cas des matrices triangulaires 5.4 Matrices de dilatation et de transvection. Opérations élémentaires 5.5 Méthode des pivots de Gauss 5.6 Résolution des systèmes linéaires à coefficients entiers 5.7 Décomposition LR ou méthode de Crout 5.8 Décomposition LD tL des matrices symétriques réelles 5.9 Décomposition de Cholesky des matrices symétriques réelles définies positives 5.10 Méthode d’élimination de Gauss-Jordan 5.11 Méthodes itératives de résolution des systèmes linéaires 5.12 Méthode de Jacobi 5.13 Méthode de Gauss-Seidel 5.14 Méthode de relaxation 5.15 Méthodes de descente et de gradient 5.16 Exercices Chapitre 6 - Calcul approché des valeurs et vecteurs propres 6.1 Introduction 6.2 Méthode de la puissance itérée 6.3 Méthode de Jacobi pour les matrices symétriques 6.4 La méthode de Givens et Householder Chapitre 7 - Systèmes différentiels linéaires et exponentielle d’une matrice 7.1 Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants 7.2 L’exponentielle d’une matrice 7.3 Un algorithme de calcul de l’exponentielle d’une matrice 7.4 Equations différentielles linéaires d’ordre n à coefficients constants 7.5 Systèmes différentiels linéaires à coefficients non constants 7.6 Méthode de variation des constantes 7.7 Surjectivité et injectivité de l’exponentielle matricielle 7.8 Exercices Bibliographie Index